§ 4. Неявные функции.

Неявными называют функции, задание которых осуществляется пос – редством уравнения или системы уравнений.

1. Неявная функция, заданная уравнением F(x,y)= 0.

Приведем пример функции, заданной уравнением.

Пример. Рассмотрим уравнение F(x,y) = 0, где F(x,y) =. Функция F(x,y) определена при любых х и у. Зафиксируем некоторое х₀ и обозначим: g(y)= F(x₀,y) =. Функция g(y) непрерывна на всей числовой оси, . Кроме того, так как при всех у , g(y) убывает на от до . Следова- тельно, существует и при том только одно у₀ такое, что g(y₀) = , т.е. F(x₀,y₀) = 0. Так как число х₀ может быть выбрано любым, то установлен следующий факт: для всякого существует единственное число у такое, что F(x,y) = 0. Зададим на функцию , сформулировав следующее правило: каждому поставим в соответствие число у такое, что F(x,y)= 0. Чтобы для заданного х найти соответствующее ему значение функ- ции у =, нужно из равенства =0 найти у, выразив его через х. Очевидно, однако, что сделать это не удастся. Таким образом, урав- нение =0 определяет на всей числовой оси функцию , причём получить её явное задание в виде формулы у = не удаётся. Отметим следующее свойство : при всяком F(x, ) = 0, т.е. F(x, ) ≡ 0 на .

Пусть F(x,y)- функция, определеная на некотором множестве D, а f(х) - функция, определеная на некотором промежутке Х. Если при каждом хХ точка Р(х, f(х)) принадлежит D, а F(x, f(х)) ≡ 0 на Х , будем говорить, что функция f(х) удовлетворяет на промежутке Х уравнению F(x,y )= 0; функцию f(х) будем называть при этом решением уравнения F(x,y) = 0 на промежутке Х. Будем также говорить, что уравнение F(x,y) = 0 неявно задает функцию f(х) на промежутке Х .

Пусть имеем некоторое уравнение F(x,y) = 0. Такое уравнение может иметь единственное решение f(х) ( см. пример выше). Уравнение может иметь несколько решений; например, две функции и удовлетворяют на уравнению . Уравнение может не иметь решений; примером такого уравнения является . Ответ на вопрос о существовании и количестве решений заданного уравнения F(x,y) = 0 будет получен, если разрешить уравнение относительно у, выразив его через х. Однако, сделать это не всегда возможно ( см. пример выше). В таких случаях полезна следующая теорема.

Теорема 1 (О существовании решения уравнения F(x,y) = 0 ) Пусть функция F(x,y) непрерывно дифференцируема в окрестности точки Р₀(х₀,у₀), и пусть F(x₀,y₀)=0, а 0. Тогда существуют положительные и, а также единственная функция f(х) такая, что

1. f(х) является решением уравнения F(x,y) = 0 на интервале ();

2. для всякого справедливы неравенства << <, причём ;

3. функция f(х) непрерывно дифференцируема на (), при- чём для всякого .

Доказательство этой теоремы имеется в [1]. Остановимся на ее гео -метрическом смысле. Уравнение F(x,y) = 0 задает на плоскости некоторую кривую Г ; так как F(x₀,y₀)=0, она проходит через точку Р₀(х₀,у₀). Та часть этой кривой, которая попадает внутрь прямоугольника, ограниченного пря- мыми представляет собой график γ функции на интервале .

4.2. Неявная функция, заданная уравнением F (, u) = 0

Пусть функция F (, u) определена на некотором множестве D, лежащем в пространстве, а функция f(x) = f () определена на множестве Х. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет уравне- нию F(x, u) = 0 на множестве Х , если при каждом xХ точка (x, f(x)) = =(x₁,x₂,…,xn, f (x₁,x₂,… ,xn)) принадлежит D, а F(x, f(x)) ≡ 0 на Х; при этом функцию f(x) будем называть решением уравнения F(x, u) = 0 на множестве Х. Будем также говорить, что уравнение F(x, u) = 0 неявно задает функцию f(х) на множестве Х.

Уравнение F(x, u) = 0 может иметь единственное решение f(х), может иметь несколько решений или вовсе не иметь решений. Так, функция является единственным решением уравнения , каждая из функций удовлетворяет уравнению , а уравнение решений не имеет.

Ответ на вопрос о существовании и количестве решений заданного уравнения F(x, u) = 0 будет получен, если разрешить уравнение относитель- но u, выразив его через х= (x₁,x₂,…,xn). Однако, сделать это не всегда возмож- но. В таких случаях полезна следующая теорема.

Теорема 2. (О существовании решения уравнения F(x, u) = 0 ) Пусть функция F(x₁,x₂,…,xn, u)=F(x, u) непрерывно дифференцируема в окрестности точки Р₀(х₀, u₀),где х₀ = () и пусть =0, а 0. Тогда существуют положительные и , а также единственная функция f(х) такая, что

1. f(х) является решением уравнения F(x, u) = 0 в - окрестности точки х₀ ;

2. для всякого х выполняется , причём .

3. Функция f(х) непрерывно дифференцируема в , и для всякого х= (x₁,x₂, … ,xn) справедливы равенства

.

Геометрическая интерпретация этой теоремы возможна при n =2. Приведём сначала формулировку теоремы в этом случае.

Теорема 2'. Пусть функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки Р₀(х₀,y₀, z₀), и пусть = 0, а 0. Тог- да существуют положительные и , а также единственная функция f(х,y) такая, что

1) f(х,y) является решением уравнения = 0 в - окрестности точки Q₀(х₀,y₀) , т.е. в круге радиуса с центром Q₀(х₀,y₀) справед –ливо 0 ;

2) для всякой точки Q(х,у) этого круга < f(х,y) < , причём .

3) Функция f(х,y) непрерывно дифференцируема в , и для всякой точки Q(х,у) справедливы равенства

.

Уравнение = 0 есть уравнение некоторого геометрического места точек Σ; так как = 0, точка Р₀(х₀,y₀, z₀) принадлежит Σ. Из утверждений 1) и 2) теоремы следует, что та часть Σ , которая содержится в прямом круговом цилиндре

С= , представляет собой поверхность, а именно, график функции на круге .

4.3. Неявные функции, заданные системой уравнений

Пусть m и n – натуральные числа, и пусть m функций Fk(u₁,u₂,…, u_n, u_n+1, u_n+2,..., un+m) , k = 1,2,…, m определены на некотором множестве D .

Пусть функции f j (u₁, u₂, …, un) , j = 1,2,… …,m, определены на множе- стве Х . Будем говорить, что функции f j (u₁, u₂,…, un) , j = 1,2,… …, m, удовлетворяют на множестве Х системе m уравнений

(1) если для всякой точки (u₁, u₂,…, un,)точка пространства

(u₁, u₂,…, un, f₁ (u₁, u₂,…, un), f₂ (u₁, u₂,…, un),..., f_m (u₁, u₂,…, un)) принадлежит множеству D , и при всех k = 1,2,…, m

Fk (u₁,u₂,…, u_n, f₁ (u₁, u₂,…, un), f₂ (u₁, u₂,…, un),..., f_m (u₁, u₂,…, un)) ≡ 0 на Х . (2) Таким образом, после подстановки f j (u₁, u₂,…, un) , j = 1,2,… …, m в уравнения системы (1) левая часть каждого уравнения тождественно равна нулю на множестве Х. Набор функций , удовлетворяющий на множестве Х системе (1), будем называть решением системы (1) на множест- ве Х. Будем также говорить, что функции f j (u₁, u₂,…, un) , j = 1,2,… …, m не- явно заданы на множестве Х системой (1).

Пример. Рассмотрим систему

Здесь , . Эти функции оп- ределены при любых значениях переменных ; следовательно, . Уравнений два, значит, m=2, а тогда и n=2. Таким образом, решение системы (если оно существует) представляет собой пару функций двух пере- менных. Укажем одно из решений этой системы. Подставив в систему , нетрудно убедиться, что пара является решением системы (1) на множестве

.

Приведём формулировку теоремы о достаточных условиях существова- ния решения системы (1). Введём ряд обозначений:

х = (х₁, х₂,…,хn,) , где ;

y= (y₁, y₂,…,y_m,) , где ;

u = (u₁,u₂,…, u_n, u_n+1, u_n+2,…, un+m ) = () = (х,у);

Fk (u₁,u₂,…, u_n, u_n+1, u_n+2,…, un+m ) = Fk () = Fk (х,у).

В этих обозначениях система (1) запишется в компактной форме:

Fk (х,у) = 0, .

Пусть u₀ = () – некоторая точка пространст- ва , а функции Fk (),, дифференцируемы в окрестности этой точки. Квадратную матрицу

называют матрицуей Якоби системы функций по переменным , а её определитель называют якобианом этой систе- мы и обозначают символом . Якобиан системы явля- ется функцией переменных или точки u = ( ); она определена в в окрестности точки u₀ . Значение этой функции в точке u₀ обозначим через

Теорема 3 (О существовании решения системы уравнений) Пусть функции Fk (х,у) = 0, непрерывно дифференцируемы в окрестно- сти точки u₀ = () , причем

*) Fk(u₀) = 0, , и **) 0. Тогда существуют положительные и и единственный набор функций f j (х₁,х₂,…, хn) , j = 1,2,… …, m такой, что

1) набор f j (х₁,х₂,…, хn) , j = 1,2,… …, m является решением системы (1) в - окрестности точки х₀ = ();

2) при любом х = (), принадлежащем , справедливы неравенства - < f j (x) < +, j = 1,2,… …, m, причём f j (x₀) = , j = 1,2,… …, m;

3) функции f j (х₁,х₂,…, хn) , j = 1,2,… …, m непрерывно дифференци- руемы в .

Доказательство можно найти в руководствах по математическому анализу.