§ 3. Частные производные и дифференциал функции n, n2,

переменных

1. Частные производные функции двух переменных в точке

Пусть функция f определена в окрестности Uточки М₀ (х₀,у₀). Положим φ(х) = f( х,у₀). Этим равенством функция φ определена для тех х, для которых точка М(х,у₀) принадлежит U , т.е. φ определена в некоторой окрестности U=( a,b ), где a<x₀<b.

Определение 1. Если существует производная φ′(х₀), то это число называют частной производной функции f по аргументу х в точке М₀ .

Обозначают введенную этим определением частную производную символами fх′(m0) или fх′(x0,y0) , а также

Таким образом,

Пример 1. Функция f определена этим равенством во всех точках плоскости , за исключением начала координат О(0,0). Пусть М₀ (х₀ ,у₀) – некоторая точка, отличная от О. Найдем f_х ′(M₀). Имеем:

Из свойств производной φ′ вытекают свойства частной производной : пусть функции f и g определены в окрестности точки М₀ и пусть существу- ют производные (M₀) и (M₀) ; тогда

1. существует h_х′(M₀), где h= f + g, причем h_х′(M₀) = f_х′(M₀) + g_х′(M₀) ;

2) существует h_х′(M₀), где h= f g, причем

h_х′(M₀) = f_х′(M₀) g(M₀) + f(M₀) g_х′(M₀) ;

3) если g(M₀) ≠ 0, то существует h_х′(M₀), где h= , причем

h_х′(M₀) =

Рис.3

G

Выясним геометрический смысл числа

f_х′(M₀). Пусть G есть график функции f,

т.е. поверхность с уравнением z =f(x,y).

Обозначим через Г линию пересечения

G с плоскостью у = у₀. Уравнение Г

запишем в виде системы .

Исключив из этой системы у,

получим уравнение линии γ -

проекции Г на плоскость ХОZ : z = f(x,y₀) = φ(x)

(рис.3). Производная φ′(х₀) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс касатель- ной l к кривой γ в точке Р₀ , абсцисса которой равна х₀ . Заметим, что кривые γ и Г конгруентны (получаются одна из другой параллельным переносом), а Р₀ есть проекция точки N₀(x₀,y₀,z₀), где z₀=f(x₀,y₀) . Значит, касательная L к кривой Г в точке N₀ параллельна касательной l к γ в точке Р₀. Отсюда заключаем: пусть Г есть линия пересечения графика функции с плоскостью, проходящей через точку М₀ перпендикулярно к оси ординат, а N₀ - точка на Г, проекция которой на ХОУ есть М₀; частная производная f_х′(M₀) равна тангенсу угла между осью абсцисс и касательной к Г, проведенной в точке N₀.

Аналогично определяется f_у′(M₀) – частная производная функции f по аргументу у в точке М₀(х₀,у₀): f_у′(M₀) ψ′(у₀) , где ψ(у) = f(x₀,y).

Пример 2. . Найдем f_у′(M₀), где М₀(х₀,у₀) – некоторая точка плоскости, отличная от О(0,0). Имеем: ψ(у) = f(x₀,y)=

f_у′(M₀) ψ′(у₀) =

Очевидно, частная производная функции f по у обладает свойствами, аналогичными свойствам 1),2) и 3) частной производной по х. Геометрии- ческий смысл числа f_у′(M₀) выясняется так же, как это было сделано выше для f_х′(M₀): пусть Г есть линия пересечения графика G : z =f(x,y) c плоско- стью х =х₀ ; f_у′(х₀,у₀) есть тангенс угла между осью ординат и касательной к Г , проведенной в точке N₀(x₀,y₀,z₀), где z₀=f(x₀,y₀).

3.2 Частные производные функции n переменных

Пусть функция f(х), х = (х_1,х_2,…,х_n) определена в окрестности Uточки х₀ = (). Выбрав одно из чисел 1,2,…,n ,обозначим его через i и положим φ_i(t) = f (x_t) , где x_t = - точка, координаты которой совпадают с координатами х₀, за исключением i-той координаты, равной t. Так как f определена в окрестности точки х₀, функция φ_i определена для t, близких к числу x_i0 , т.е. в окрестности U_x.

Определение 2. Если существует производная φ′_i(x_i0) , то это число называют частной производной от функции f по аргументу x_i в точке х₀ .

Обозначают частную производную, введенную определением 2 символами f ′_х( х₀) и . Таким образом,

f ′_х( х₀) φ′_i(x_i0)=.

Обозначим : h= t - x_i0. Тогда t = x_i0+ h ; h →0 при t → x_i0. Значит,

f ′_х( х₀) ==

Свойства f ′_х( х₀) вытекают из свойств производной φ′_i(x_i0) – они аналогичны утверждениям 1), 2) и 3) ,п.3.1.

Пусть функция f(x₁,x₂,…,x_n) определена на некотором открытом множестве Х, Х, и пусть в каждой точке х этого множества существует частная производная f ′_х( х). Зададим на Х функцию g _i , сопоставив каждому х число f ′_х( х): х g (х) = f ′_х( х). Функцию g _i называют частной произ- водной от функции f по аргументу х и обозначают символами f ′_х, f ′_х( х), .

Пример 3. В примерах 1 и 2 были найдены частные производные этой функции в произвольной точке М₀(х₀,у₀) , отличной от О(0,0): , f_у′(M₀)= Здесь х₀ и у₀ – координаты произвольной точки плоскости. Заменив обозначения (х₀,у₀) на (х,у), получим выражения, задающие функции f ′_х и f ′_у на проколотой плоскости :

, f_у′(х,у)=

3. Функции, дифференцируемые в точке

Пусть функция α определена в некоторой проколотой окрестности точки 0(0,0,…,0) и пусть . Будем говорить в этом случае, что функция α есть ″о - малое″ от ||x|| и записывать при этом α(х) = о(||x||).

Определение 3. Функцию f называют дифференцируемой в точке х₀ , х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки , а для ее приращения h) , h = ( h₁,h₂,…,h_n), справедлива асимптотическая формула

(h) = (А,h) + α(h), (1) где A =( A₁,A₂,…,A_n) – некоторый вектор, (А,h) = А₁h₁+A₂h₂+…+A_nh_n – скаляр- ное произведение векторов, а α(h) = о(||h ||).

Формула (1) эквивалентна каждой из следующих двух формул:

(h) = А₁h₁+A₂h₂+…+A_nh_n +||h || ε(h), (2) где ε(h)→ 0 при h→ 0 и ε(0) = 0;

(h) = А₁h₁+A₂h₂+…+A_nh_n +h₁ ε₁(h) + h₂ ε₂(h) +…+ h_n ε_n(h) , (3) где при h→ 0 ε_i (h) → 0 , i = 1,2,…,n.

► Покажем, что из формулы (1) вытекает (2), из (2) вытекает (3), а из (3) следует (1) – тем самым будет доказана эквивалентность этих формул.

(1)(2). В некоторой окрестности U₀ точки 0 зададим функцию ε(h):

ε(h)=

При h ≠ 0 отсюда имеем: (h) = (А,h) +||h || ε(h), причем ε(h)→ 0 при h→ 0 и ε(0) = 0.

(2)(3). Имеем:

,

где , i = 1,2,…,n. Заметим:

при h→ 0 ,

т.е. при h→ 0 ε_i (h) → 0 , i = 1,2,…,n. Таким образом, заменив в (2) слагаемое ||h || ε(h) на (h), где ε_i (h) введены указанным выше способом, получим формулу (3).

(3)(1). Обозначим: α(h) = (h). Имеем:

,

и так как при h→ 0 ε_i (h) → 0 , i = 1,2,…,n, то при h→ 0 , т.е. α(h) = о(||h ||). Следовательно, из (3) вытекает (1). ◄

Теорема 1. (Необходимые условия дифференцируемости) Пусть функ- ция f дифференцируема в точке х₀. х₀. Тогда 1) f непрерывна в точке х₀ и 2) в точке х₀ существуют частные производные f по каждому из ее аргументов.

►Из (1) легко видеть, что (h) → 0 при h→ 0; в силу теоремы о приращении непрерывной функции ( п. 2.3) f непрерывна в точке х₀ .

2) Пусть i – одно из чисел 1,2,…,n, а h вектор, все координаты которого равны нулю, за исключением его i- той координаты h_i , равной h≠ 0 : h = ( 0,…,0,h,0,…,0). Так как для такого вектора ||h|| = |h| , то, подставив его в (1), получим: (h) = А_ih + α(|h|) . Отсюда:

так как α(h) = о(||h ||). Таким образом, частная производная f ′_х( х₀) существует и равна А_i . ◄

Следствие. Вектор А =( A_1,A₂,…,A_n) в формулах (1), (2) и (3) определяется единственным образом : А = ( ) , так что, например, формулу (1) можно записать так : (h) = о(||h ||).

Формулы (1), (2) и (3) часто записывают в более компактном виде с помощью символического вектора ( ), который называют оператором Гамильтона и обозначают символом - ″набла″. Вектор А = ( ) представляют как произведение символического вектора на число f(х₀); тогда сумма есть скалярное произве-дение векторов f(х₀) и h : = ( f(х₀), h). Теперь формулу (2) , например, можно записать так:

(h) = ( f(х₀), h) + ||h || ε(h) . (4)

Теорема 2. (Достаточные условия дифференцируемости) Пусть фун- кция f (х₁,х₂, …,х_n) определена в некоторой окрестности точки х₀ , х₀, и имеет во всех точках этой окрестности частные производные по каждому своему аргументу. Если f и ее частные производные f ′_х , i = 1,2,…,n непрерывны в точке х₀ , то функция f дифференцируема в х₀ .

Мы приведем доказательство для случая n = 2; в общем случае оно про- водится по той же схеме, но становится весьма громоздким.

► Пусть функция f (х,у) и ее частные производные f ′_х (х,у) и f_у′(х,у) оп- ределены в некоторой ε – окрестности U( ε) точки М₀(х₀,у₀) и непрерывны в этой точке. Нужно установить дифференцируемость f в точке М₀ , для чего достаточно доказать формулу (3), которую здесь можно записать так:

(h₁,h₂) = f_х′(M₀) h₁ + f_у′(M₀) h₂ + h₁ ε₁(h₁, h₂) + h₂ ε₂ (h₁, h₂), (5) где ε₁(h₁, h₂) и ε₂ (h₁, h₂) стремятся к нулю при h₁ →0, h₂→0.

Пусть h₁ и h₂ выбраны так, что точка P (х₀+ h₁ , у₀+ h₂ ) содержится в окрестности U( ε). Тогда справедливы равенства

(h₁,h₂) = f (х₀+ h₁ , у₀+ h₂ ) - f (х₀ , у₀ ) =

= f (х₀+ h₁ , у₀+ h₂ ) - f (х₀ , у₀+ h₂ ) + f (х₀ , у₀+ h₂ ) - f (х₀ , у₀ ). (6)

На сегменте L₁, ограниченном точками х₀ и х₀+ h₁, определим функцию φ равенством: L₁ φ (х) = f (х , у₀+ h₂ ). Так как в U( ε) существует производная f ′_х ,то в каждой точке сегмента L₁ существует производная φ′(х) = f ′_х(х , у₀+ h₂ ). Значит, функция φ удовлетворяет на сег-

менте L₁ требованиям условия теоремы Лагранжа, и справедлива формула конечных приращений : φ (х₀+ h₁) - φ (х₀) = φ′(х₀+θ₁ h₁) h₁. где θ₁ – некоторое число , 0 < θ₁ < 1. Отсюда, так как φ (х) = f (х , у₀+ h₂ ), получим:

f (х₀+ h₁ , у₀+ h₂ ) - f (х₀ , у₀+ h₂ ) = f ′_х( х₀+θ₁ h₁, у₀+ h₂ ) h₁

Аналогично, рассмотрев функцию ψ(у) = f (х₀ , у ) на сементе L₂, ограни- ченном точками у₀ и у₀+ h₂, получим равенство

f (х₀ , у₀+ h₂ ) - f (х₀ , у₀₂ ) = f ′_у( х₀ , у₀+ θ₂ h₂ ) h₂.

Таким образом, из (6) теперь следует:

(h₁,h₂) = f ′_х( х₀+θ₁ h₁, у₀+ h₂ ) h₁ + f ′_у( х₀ , у₀+ θ₂ h₂ ) h₂. (7)

Обозначим : ε₁(h₁, h₂) = f ′_х( х₀+θ₁ h₁, у₀+ h₂ ) - f ′_х( х₀ , у₀ ) ,

ε₂ (h₁, h₂) = f ′_у( х₀ , у₀+ θ₂ h₂ ) - f ′_у( х₀ , у₀ ).

Тогда f ′_х( х₀+θ₁ h₁, у₀+ h₂ ) = f ′_х( х₀ , у₀ ) + ε₁(h₁, h₂), (8)

f ′_у( х₀ , у₀+ θ₂ h₂ ) = f ′_у( х₀ , у₀ ) + ε₂ (h₁, h₂), (9)

причем из непрерывности функций f ′_х и f ′_у следует, что ε₁(h₁, h₂) и ε₂ (h₁, h₂) стремятся к нулю при h₁ →0, h₂→0. После подстановки (8) и (9) в (7) получим для (h₁,h₂) представление (5) . ◄

Пусть m и n - некоторые натуральные числа.

Теорема 3. (О дифференцируемости сложной функции) Пусть функции φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) , где t = ( t₁,t₂, …,t_m ), дифференцируемы в точке t₀, а функция f (х₁,х₂, …,х_n) дифференцируема в точке х₀, х₀ =(х₁₀,х₂₀, …,х_n0), где х_i0 = φ_i (t₀), i = 1,2,…,n. Тогда сложнaя функция F(t) = f(φ₁(t), φ₂(t),…,φ_n(t)) дифференцируема в точке t₀ , причем

F′(t₀)= , k = 1,2,…,m . (10)

► Согласно определению 3 нужно показать, что 1) F определена в некоторой окрестности точки t₀ и что 2) для приращения (τ) = F(t₀+ τ) - F(t₀) , τ = (τ₁, τ₂, …, τ_m) , справедливо представление (τ) = + α (τ) , где A_k , k = 1,2,…,m - некоторые числа, а α (τ) = о (||τ||) .

1) Функции f и φ_i , i = 1,2,…,n – дифференцируемые, а потому и непре- рывные функции. Значит, требования условия теоремы 4, п. 2.3, выполнены, и в силу утверждения 1) этой теоремы найдется ε > 0 такое,что F определена в ε - окрестности точки t₀ .

2) Пусть вектор τ = (τ₁, τ₂, …, τ_m) удовлетворяет требованию ||τ|| < ε . Обозначим: h_i= φ_i(t₀+ τ)- φ_i (t₀)= (τ) , i = 1,2,…,n . Отсюда, так как φ_i (t₀) = х_i0 , получим: φ_i(t₀+ τ) = х_i0+ h_i , i = 1,2,…,n . Следовательно,

(τ) = F(t₀+ τ) - F(t₀) = f(φ₁(t₀+ τ ), φ₂(t₀+ τ), …, φ_n(t₀+ τ)) - f(φ₁(t₀), φ₂(t₀), …, φ_n(t₀)) = f(х₁₀+ h₁, х₂₀+ h₂ ,…, х_n0+ h_n) - f(х₁₀, х₂₀ ,…, х_n0) = f (х₀+ h ) - f (х₀ )=(h) ,

где h = (h₁,h₂, …,h_n) . Так как f дифференцируема в точке х₀ , то

(τ) = (h) = f ′_х( х₀) h_{i +} ||h || ε(h) , (11) где ε(h)→ 0 при h → 0. Функции φ_i дифференцируемы в точке t₀ , поэтому при каждом i = 1,2,…,n h_i= (τ) = + || τ|| ε_i(τ) , где ε_i(τ) → 0 при τ → 0 . Подставим эти выражения для h_i в (11) :

(τ) = f ′_х( х₀) +||h || ε(h) =

= f ′_х( х₀) + || τ|| f ′_х( х₀) ε_i(τ) +||h || ε(h) . Меняя порядок суммирования в двойной сумме, получим :

(τ) = + α (τ) , (12)

где A_k = f ′_х( х₀) , k =1,2,…,m ,

α (τ) = || τ|| f ′_х( х₀) ε_i(τ) +||h || ε(h) .

Покажем, что α (τ) =о (||τ||) , т.е. Имеем при τ , удовлетво- ряющих неравенствам 0 < || τ|| < ε :

= β(τ) + γ (τ) , где β(τ) = f ′_х( х₀) ε_i(τ) , γ (τ) = ε(h) . Так как ε_i(τ) → 0 при τ → 0 , i = 1,2,…,n , то β(τ) → 0 при τ → 0. Покажем, что и γ (τ) → 0 при τ → 0.

Так как h_i= (τ) , а φ_i непрерывна в точке t₀ , то по теореме о прира- щении непрерывной функции h_i → 0 при τ → 0. Значит, h = (h₁,h₂, …,h_n) → 0 при τ → 0 . Но ε(h)→ 0 при h → 0, следовательно, ε(h)→ 0 при τ → 0.

Воспользовавшись формулой (4), можем записать: h_i = (τ) = ( φ_i(t₀), τ ) + || τ || ε_i(τ ) . Отсюда: | h_i| ≤ | ( φ_i(t₀), τ ) | + || τ || | ε_i(τ )| . В силу неравенства Коши- Буняковского ( п. 1.1 ) | ( φ_i(t₀), τ ) | ≤ || φ_i(t₀)|| || τ || . Обозначим через М наибольшее из чисел || φ_i(t₀)|| , i =1,2,…,n. Так как ε_i(τ) → 0 при τ → 0 , i = 1,2,…,n , найдется δ , 0 < δ < ε , такое,что при всех τ , 0 < || τ|| ≤ δ и всех i = 1,2,…,n справедливо | ε_i(τ )| ≤ М. Значит, при всех τ , 0 < || τ|| ≤ δ и всех i = 1,2,…,n

| h_i| ≤ || φ_i(t₀)|| || τ || + || τ || | ε_i(τ )| ≤ М || τ || + || τ || М = 2М || τ || .

Теперь при 0 < || τ|| ≤ δ имеем:

Следовательно, дробь есть функция от τ, ограниченная в проколотой δ- окрестности точки 0; таким образом, γ (τ) представляет собой произведение ограниченной функции на бесконечно малую при τ → 0 функцию ε(h) , поэтому γ (τ) → 0 при τ → 0.

Итак, при τ → 0 β(τ) → 0 и γ (τ) → 0 ; значит, α (τ) =о (||τ||). Отсюда и из (12) вытекает и дифференцируемость F в точке t₀ , и выражения для ее частных производных:

F′(t₀)=А_k = , k = 1,2,…,m . ◄

Отметим частные случаи формул (10)

Пусть φ_i , i = 1,2,…,n – функции одной переменной t, дифференцируе -мые в точке t₀ , а функция f (х₁,х₂, …,х_n) дифференцируема в точке х₀, х₀ =(х₁₀,х₂₀, …,х_n0), где х_i0 = φ_i (t₀), i = 1,2,…,n. Тогда сложнaя функция F(t) = f(φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t)) дифференцируема в точке t₀ , причем

Пусть функции φ (u,v) и ψ(u,v) дифференцируемы в точке N₀ (u₀,v₀) , а f (x,y) дифференцируема в точке M₀(x₀,y₀) , где x₀ = φ (u₀,v₀) , y₀ = ψ(u₀,v₀) . Тогда функция F( u,v) = f( φ (u,v), ψ(u,v)) дифференцируема в точке N₀ , причем

Замечание. Пусть обозначения φ_i , i = 1,2,…,n , f , t , x_, t₀ , x₀ имеют тот же смысл, что в тексте теоремы 3, и пусть переменная u есть сложная функция переменных t₁,t₂, …,t_m : u = f(φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t)) = F (t₁,t₂, …,t_m) . Условимся в следующих обозначениях : через u′или обозначаем частные производные функции f по ее аргументам х₁,х₂, …,х_{n ;} через u′ или обознаёчаем частные производные функции F (t₁,t₂, …,t_m) , через обозначаем частные призводные функции φ_i(t₁,t₂, …,t_m) . Тогда формулы (10) можно записать в следующем виде : u′= , k = 1,2,…,m .

Определение 4. Будем говорить, что функция f (х₁,х₂, …,х_n) дифферен- цируема на открытом множестве Х, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Определение 5. Будем говорить, что функция f (х₁,х₂, …,х_n) непрерывно дифференцируема на открытом множестве Х, если она дифференцируе- ма на этом множестве и ее частные производные по всем ее аргументам непрерывны на Х.

3.4 Дифференциал функции в точке. Инвариантность формы

дифференциала .

Пусть функция f (x) , x = (x₁,x₂,…,x_n) , дифференцируема в точке х₀ . Тог- да для ее приращения справедливо представление (h = (h₁,h₂,…,h_n) ) :

f(h) = + o(||h||).

Выражение в этом представлении называют дифференциа -лом функции f в точке х₀ и обозначают символами или h) :

h) .

Пример 1. Пусть М₀ (х₀ ,у₀) – некоторая точка, отличная от О(0,0). Имеем ( см.п. 3.2) : , f_у′(M₀)= Значит, . В частности, при х₀=1, у₀= 2 . Если же х₀= у₀=1, то f_у′(M₀)= 0 , и потому 0 при любых h₁ и h₂, т.е. ≡ 0.

Имеем : f(h) = f(х₀+h) – f(x₀) , где x₀ = (x₁₀,x₂₀,…,x_n0) , h = (h₁,h₂,…,h_n). Обозначим : х = х₀+h , x = (x₁,x₂,…,x_n); тогда h = х - х₀ , h_i = x_i – x_i0 , i = 1,2, …,n. Разность x_i – x_i0 называют приращением аргумента (независимой пере- менной) x_i и обозначают ее через Δ x_i ; эту же разность называют также диф- ференциалом аргумента (независимой переменной) x_i и обозначают ее в та- ком случае через d x_i . Таким образом, выражение для h) можно запи- сать в следующей форме :

h) = (13)

Из свойств частных производных нетрудно вывести следующие правила вычисления дифференциалов в точке х₀ : пусть функции f и g дифференцируемы в точке х₀ ; тогда

1. если в окрестности точки х₀ f (х) ≡ Соnst , то df ≡ 0 ;

2. d(f+g) = df + dg;

3. d(f g) = g df +f dg; в частности, если f (х) ≡ С, то d(Сg) = С dg;

4. если g(x₀) ≠ 0, то .

Выведем формулу для дифференциала сложной функции. Пусть F(t)= =f(φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t)) , где функции φ_i , i = 1,2,…,n, дифференцируемы в точке t₀, а функция f дифференцируема в точке х₀, х₀ =(х₁₀,х₂₀, …,х_n0), где х_i0 = φ_i (t₀), i = 1,2,…,n. По теореме 3 , п 3.3., функция F(t) =F ( t₁,t₂, …,t_m ) дифференцируема в точке t₀ . Запишем ее дифференциал : . Воспользуемся формулами (10) :

. Отсюда, так как , получим:

(14)

Опишем теперь свойство дифференциала, которое называют ивариант- ностью (неизменностью) его формы. Пусть переменная u является функцией от n переменных x₁,x₂,…,x_n, дифференцируемой в точке х₀ : u = f (х₁,х₂, …,х_n) . Дифференциал du выражается формулой (13), которую, используя обозначе- ния, принятые в замечании п. 3.3, можно записать так:

du =. (15)

Пусть теперь каждая из переменных x₁,x₂,…,x_n представляет собой дифференцируемую функцию переменных t₁,t₂, …,t_m : x_i = φ_i(t₁,t₂, …,t_m), i = 1,2, …,n. Тогда переменная u является сложной функцией от t₁,t₂, …,t_m, а ее дифференциал в обозначениях замечания п.3.3 будет записан в виде du= ; его же в виду формулы (14) можно записать и так: du = , что совпадает с (15). Таким образом, если переменная u является функцией от n переменных x₁,x₂,…,x_n , то ее дифферен- циал du записывается формулой (15) как в случае, когда x₁,x₂,…,x_n являются независимыми переменными, так и тогда, когда они в свою очередь предс- тавляют собой функции от некоторых переменных t₁,t₂, …,t_m - в этом и состо- ит инвариантность формы du . Однако, следует помнить о существенном раз- личии между этими двумя случаями в содержании формулы (15). Если пере- менные x₁,x₂,…,x_n независимы, то их дифференциалы – это их приращения, следовательно, значения dx_i , i= 1,2, …,n в (15) можно назначать произвольно. Во втором случае dx_i есть дифференциал функции φ_i(t₁,t₂,…,t_m), т.е., величи- на, зависящая от значений дифференциалов dt_k , k= 1,2, …,k.

5. Касательная плоскость к графику функции двух переменных

Пусть функция f(x,y) определена в некоторой окрестности U точки М₀(х₀,у₀) , G – график функции, т.е. поверхность с уравнением z = f(x,y), а N₀ – точка графика G, проекцией которой на плоскость ХОY является М₀ , т.е. N₀(х₀,у₀, z₀) , где z₀ = f(х₀,у₀). Пусть П – плоскость, проходящая через N₀ и не параллельная оси OZ. Уравнение плоскости П запишем в виде z = l (x,y), где l(x,y) = z₀ + A (x – x₀) + B (y – y₀) , A и B – некоторые числа.

Пусть М(х,у) – некоторая точка, принадлежащая U , а N и Р – точки , имеющие одинаковые с М абсциссу и ординату, причём N лежит на поверх- ности G, а P - на плоскости П : N (x,y,z_G ), P (x,y,z_П), где z_G =f(х,у) , z_П = l(х,у) ( рис. 4).

Обозначим: h₁= x - x₀ , h₂= y – y₀ , h = = = (h₁, h₂). Заметим : || h || есть рас- стояние между точками М₀ и М , а z_G – z_П – расстояние между точками N и Р, первая из которых лежит на графике G, а вторая – на плоскости П.

Определение 4. Плоскость П называют касательной плоскостью к по- верхности G в точке N₀, если разность аппликат z_G – z_П точек N и P есть о(||h||):

.

Теорема 4. (О касательной плоскости) Пусть функция f(x,y) опреде- лена в некоторой окрестности U точки М₀(х₀,у₀), а G – график этой функ- ции, т.е. поверхность, уравнение которой z = f(x,y) . Тогда:

1) для того, чтобы существовала касательная плоскость к поверхности G в точке N₀(x₀,y₀,z₀ ), где z₀ = f(х₀,у₀), необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке М₀;

2) если функция f дифференцируема в точке М₀ , то плоскость П, урав- нение уравнение которой

z = z₀ + f′_x(x₀,y₀) (x – x₀) + f′_y(x₀,y₀) (y – y₀) , (16)

является касательной плоскостью к поверхности G а точке N₀;

3) если касательная плоскость к поверхности G а точке N₀ существует, то только одна.

► 1) Необходимость. Пусть f дифференцируема в точке М₀ . Покажем, что тогда касательная плоскость существует, а именно, что плоскость П, за- данная уравнением (16), удовлетворяет определению 4. Действительно, f дифференцируема в точке М₀ , поэтому

Δ f (h₁ ,h₂ ) = f′_x(x₀,y₀) h₁ + f′_y(x₀,y₀) h₂ + o(||h||) , т.е., так как Δ f (h₁ ,h₂ )= f(х,у) - f(х₀,у₀) = z_G - z₀ ,

z_G - z₀ = f′_x(x₀,y₀) h₁ + f′_y(x₀,y₀) h₂ + o(||h||) .

Отсюда : z_G - ( z₀ + f′_x(x₀,y₀) (x – x₀) + f′_y(x₀,y₀) (y – y₀) ) = o(||h||). Выраже- ние в скобке есть правая часть уравнения (16). Обозначив её через z_П , полу- чим: z_G – z_П = о(||h||). Значит, П – касательная плоскость.

Достаточность. Пусть плоскость П, заданная уравнением z = l (x,y), где l(x,y) = z₀ + A (x – x₀) + B (y – y₀) , A и B – некоторые числа, является ка- сательной плоскостью к графику G в точке N₀ . Обозначим : z_G= f(M) , z_П = l(M) , где М(х,у) – точка, принадлежащая U. Тогда в силу определения 4 z_G – z_П = о(||h||) , где h = = (h₁, h₂) , h₁= x - x₀, h₂= y – y₀ . Заметим:

z_G – z_П = f(M) - l(M)= f (x,y) - l(x,y) = f (x,y) – (z₀ + A (x – x₀) + B (y – y₀) ) Отсюда : f (x,y) – z₀ = A (x – x₀) + B (y – y₀) + о(||h||) . Но

f (x,y) – z₀= f(х₀+h,у₀+h) - f(х₀,у₀) = Δ f (h₁ ,h₂ ). Значит, Δ f (h₁ ,h₂ )= A h₁ + Bh₂ + о(||h||) , т.е., f дифференцируема в точке М₀ .Тем самым достаточность доказана. Заметим, что здесь А = f′_x(x₀,y₀) , В = f′_y(x₀,y₀), так что если z = z₀ + A (x – x₀) + B (y – y₀) есть уравнение касатель- ной плоскости, то A и B определяются единственным образом: А = f′_x(x₀,y₀) , В = f′_y(x₀,y₀). Следовательно,если П – касательная плоскость к к графику G в точке N₀, то её уравнение есть уравнение (16).

2. Если f дифференцируема в точке М₀ , то плоскость, заданная уравне- нием (16) есть касательная плоскость – это было установлено при доказатель- стве Необходимости.

3. При доказательстве Достаточности установлена единственность этой касательной плоскости. ◄

Пример. f (x,y) = . Эта функция дифференцируема во всех точках плоскости, ее график – параболоид вращения z = . Следовательно, в каждой точке параболоида существует касательная плоскость. Запишем урав- нение плоскости, касающейся параболоида в точке Р₀ (1,2,5). Имеем: f′_x(x,y) = 2х , f′_x(x,y) =2у . Подставив в уравнение (16) эти производные, х₀ = 1, у₀ = 2 , z₀ = 5 , получим: z = 5 + 2(х – 1) + 4(у – 2) , т.е. 2х + 4у – z – 5 = 0 .

Замечание. Пусть f (x,y) дифференцируема в точке М₀(х₀,у₀), G : z = =f (x,y) – график этой функции, N₀ (х₀,у₀, z₀) , z₀ = f(х₀,у₀) , - точка, принадле- жащая G, П – плоскость, касающаяся G в точке N₀ . Пусть, далее, Г – гладкая кривая, все точки которой принадлежат G , и которая проходит через N₀ , а Δ – касательная прямая к Г в точке N₀. Покажем, что касательная Δ лежит в ка- сательной плоскости П . Действительно, пусть

- уравнение Г, а t₀ – точка на (α,β) такая, что . Так как все точки Г принадлежат G, то функции удовлетворяют урав- нению z = f (x,y) на (α,β): . Продифференцировав это тождест- во и подставив t = t₀, получим: , т.е. . Левая часть этого равенства представ- ляет собой скалярное произведение векторов и ; следовательно, угол между этими векторами прямой. Напомним, что есть нормальный вектор плоскости П ( см. уравнение (16)), а - направляющий вектор касательной Δ. Значит, касательная Δ парал- лельна плоскости П , и так как Δ проходит через точку N₀ , дежащую на П, то Δ лежит на П.

6. Частные производные высших порядков

Пусть функция f(x,y) дифференцируема на некотором открытом мно- жестве . Из теоремы о необходимых условиях дифференцируемости вытекает, что на Х определены частные производные и . Эти функции могут оказаться дифференцируемыми на Х. В этом случае на Х оп- ределены частные производные этих функций. Частные производные от и называют частными производными второго порядка от функ- ции f(x,y), при этом и называют частными производными пер- вого порядка от функции f(x,y). Приняты следующие обозначения:

- частная производная второго порядка от функции f(x,y) по х дважды (частная производная от по х);

- частная производная второго порядка от функции f(x,y) по ху ( частная производная от по у);

- частная производная второго порядка от функции f(x,y) по ух ( частная производная от по х);

- частная производная второго порядка от функции f(x,y) по у дважды ( частная производная от по у).

Если частные производные второго порядка дифференцируемые функ- ции,то их частные производные называют частными производными третьего порядка от функции f(x,y). Вообще, частными производными порядка от функции f(x,y) называют частные производные от её частных произ- водных порядка .

Производные и называют смешанными частными производ- ными второго порядка функции f(x,y). Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям, указанным в приведённой ниже теореме, справедливо равенство =.

Определение. Будем говорить, что функция f(x,y) раз дифферен цируема в точке Р₀ (х₀,у₀), если она и все её частные производные до порядка включительно определены в некоторой окрестности , причём все её частные производные порядка дифференцируемы в точке Р₀.

Заметим, что если функция f(x,y) раз дифференцируема в точке Р₀ (х₀,у₀), то в этой точке существуют все частные производные от f(x,y) до порядка включительно.

Теорема ( О равенстве смешанных частных производных второго порядка) Если функция f(x,y) дважды дифференцируема в точке Р₀ (х₀,у₀), то справедливо равенство .

► По условию f(x,y) дважды дифференцируема в точке Р₀ (х₀,у₀), значит, существует ε >0, такое, что в определены и , причём обе эти функции дифференцируемы в точке Р₀ . Пусть - некото- рое число. Если , то точка содержится в . Везде ниже считаем, что удовлетворяет условию 0 < . Обозначим:

, Функцияопределена в некоторой окрестности точки Р₀, а - на сегменте, ограниченном точками х₀ и х₀+, причем на этом сегменте

. Запишем приращение этой функции:

=.= . По формуле конечных приращений , где - неко- торое число, . Отсюда:

=. Так как дифференцируема в точке Р₀, то

где при . Положив здесь , получим:

. Положим теперь

. Отсюла:

=, (17) где -. Заметим: .

Положим теперь

, и рассмотрим :

, где , т.е., =

==

=

Так как дифференцируема в точке Р₀, то

где при . Положив здесь , получим:

Отсюда: ==, (18)

где , причём .

Заметим: ==

=.

=. Таким образом, =. Отсюда и из (17) и (18) следует: при любых t таких, что 0 < справедливо

=. Поделив обе части этого равенства на , получим:

= . При левая часть стремится к нулю; значит, . ◄

Следствие. Пусть k,l,m – натуральные числа, причём k+l=m. Если функция f(x,y) m раз дифференцируема в точке Р₀, то значение в этой точке любой частной производной порядка m функции f , полученной дифферен-цированием k раз по х и l раз по у, не зависит от порядка, в котором произво- дились последовательные дифференцирования.

Понятие частных производных высших порядков, введенное выше для функций двух переменных, нетрудно обобщить и сформулировать аналогич- ные понятия для функций любого количества переменных.

Пусть функция дифференцируема на некотором отк-рытом множестве Х. Тогда на этом множестве определены её частные произ- водные Если частная производная диф- ференцируема, то её частные производные называют частными производны- ми второго порядка функции. Символами и обозначают производную от по переменной х_к ; т.o. , чтобы найти , нужно сначалапродифференцировать по х_i , а затем полученную функцию продифференцировать по х_к.

Частными производными третьего порядка функции называют частные производные от её частных производных второго порядка. Вообще, частной производной порядка m, где m, функции называют частую производную от частной производной порядка m-1 этой функции; производные называют при этом частными производными первого порядка. Пусть - некоторое натуральное число, не превышающее m, - набор натуральных чисел, не обязательно попарно различных, каж- дое из которых не превышает n , k₁,k₂,...,k_l – натуральные числа такие, что их сумма равна m. Символом обозначают частную производ- ную порядка m, для вычисления которой следует сначала продифференцировать α₁ раз по переменной , затем полученную функцию α₂ раз продифференцировать по переменной и т.д.

Определение 8. Будем говорить, что функция f(x) = f(x₁,x₂,…,xn) m, где m > 1, раз дифференцируема в точке х₀ Еⁿ , если она и все ее частные произ- водные до порядка m – 1 включительно определены в некоторой окрестности U, причем все ее производные порядка m – 1 дифференцируемы в точке х₀.

Справедливы утверждения :

1) если функция f m раз дифференцируема в точке х₀ , то в этой точке суще- ствуют все ее частные производные порядка m ;

2) пусть k₁,k₂,…,k_l – натуральные числа, m = k₁+k₂ +… + k_l ; если функция f m раз дифференцируема в точке х₀ , то значения в этой точке всех её частных производных порядка m, полученных дифференцированием k₁ раз по x₁ , k₂ раз по x₂ и т. д., k_l раз по x_l , одинаковы; т.е., значения таких производных не зависят от того, в каком порядке указанные дифференцирования производи- лись.

Определение 9. Будем говорить, что функция f(x) = f(x1,x2,…,xn) m раз, где m >1, непрерывно дифференцируема в точке х0 , если в некоторой окрест- ности этой точки существуют все ее частные производные порядка m, причём эти производные непрерывны в точке х0 .

Определение 10. Будем говорить, что функция f(x) = f(x1,x2,…,xn) m раз, где m >1, непрерывно дифференцируема на открытом множестве Х Е ⁿ , если все ее частные производные порядка m непрерывны на Х .

7. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция f (x,y) m раз, где m > 1, дифференцируема в точке Р₀(х0,у0) .

Определение 11. Дифференциалом порядка m функции f (x,y) в точке Р₀ называют выражение , где h₁ и h₂ – переменные, принимающие независимо друг от друга любые вещественные значения.

Переменные h₁ и h₂ называют приращениями аргументов х и у соот- ветственно, обозначая их через и . Переменные h₁ и h₂ называют также дифференциалами аргументов х и у соответственно, обозначая их в этом слу- чае через и . Дифференциал порядка m функции f (x,y) в точке Р₀ будем обозначать через , а также через или через . Таким образом,

, где .

Для примера запишем дифференциалы второго и третьего порядков:

Pfgbitv 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

+

Пусть функция f(x) = f(x₁,x₂,…,xn) m раз, где m >1, дифференцируема в точке х₀ , х₀ =(х₁₀,х₂₀, …,х_n0)

Определение 12. Дифференциалом порядка m функции f (x) в точке x₀ называют выражение , где h₁, h₂, …h_n – переменные, принимающие независимо друг от друга любые вещественные значения, a k₁,k₂,...k_n – набор целых неотрицательных чисел таких, что

и . Суммирование производится по всевозможным наборам k₁,k₂,...k_n удовлетво- ряющих указанным условиям 1) и 2).

Дифференциал порядка m функции f (x) в точке x₀ будем обозначать через , а также через или через . При n= 2 дифференциал порядка m, введенный определением 12, совпадает с дифференциалом порядка m функции двух переменных (см. определение 11). Приведём ещё выражение дифференциала второго порядка функции трёх переменных в точке Р₀(х₀,у₀,z₀):

=

+

3.8. Формула Тейлора

Теорема 6. Пусть m > 1 и пусть функция f(x) = f(x1,x2,…,xn) m -1 раз диффе- ренцируема в некоторой ε – окрестности точки x0 = (x10,x20, …, xn0) и m раз дифференцируема в самой точке x0 . Тогда для любой точки x, принадлежа- щей указанной ε – окрестности справедлива асимптотическая формула

, (19) где

Доказательство этой теоремы можно найти в [1]. Выражение представляет собой алгебраический многочлен степени не выше m от n переменных x1,x2,…,xn. Его называют многочленом Тейлора сте- пени m функции f(x ) , а представление (19) – формулой Тейлора в точке x0. В качестве примера запишем формулу Тейлора при m =2 для функции f (x,y) в точке Р₀(х0,у0):

+ .