25) Дать определение векторного произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.

Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве r называется вектор c удовлетворяющий следующим требованиям:/ 1)длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла ; между ними 2)вектор c ортогонален каждому из векторов a и b; 3)вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой. 4)в случае пространства rтребуется ассоциативность тройки векторов a.b.cГеометрический смысл смысл |c|=s=|a||b|*sin

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму

параллелепипеда, образованного векторами .

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

(a,b,c)=(b,c,a)-(c,a,b)—(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b)

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

26) Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства, геометрический смысл, вычисление в координатной форме.

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

В частности, Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение a,b,c по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a,b,c ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

27) Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений. Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие свойства.Функций .

Определение: Если даны числовые множества x и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определённое число y, то говорят заданная функция y=f(x) с областью определения x; пишут y=f(x), x э X. Переменную x называют независимой или аргументом, y-зависимой или функцией. Способы задания: Аналитический, графический, табличный, словесный. Свойства: 1)Чётность, нечётность. 2)Периодичность 2)Монатонность 3)Нули 4)График.

28) Дать понятие обратной и сложной функции, неявно заданной функции, параметрически заданной функции.

1.Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). 2.Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то естьu = j(х), то у является Сложная функция от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u).

3.Неявные функции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. 4.Пусть заданы две функции x(t), y(t); при этом переменная t называется параметром. Тогда говорят, что y как функция от x задана параметрически.

30) Разъяснить критерии определения взаимного расположения прямых на плоскости в зависимости от видов уравнений прямых. Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых. Дать определение угла между двумя прямыми и расстояния от точки до прямой. Записать формулы для определения угла между двумя прямыми и .расстояния от точки до прямой.

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

Или

пересекаются в точке

Угол γ12 между пересекающимися прямыми определяется формулой

При этом под γ12 понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A₁, B₁, C₁, k₁ и b₁) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если A₁B₂ − A₂B₁ = 0 или k₁ = k₂, и перпендикулярны, если A₁A₂ + B₁B₂ = 0 или .

Любую прямую, параллельную A₁x + B₁y + C₁ = 0, можно выразить уравнением A₁x + B₁y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно

Если знак перед радикалом противоположен C1, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если и , то прямые и перпендикулярны.