51) Дать определение непрерывности функции на отрезке. Сформулировать теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b]

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на (a,b) все промежуточные значения между f(a) и f(b).

52) Дать определение асимптоты графика функции. Назвать их виды, сформулировать условия существования...

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число f'(x₀) является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀. Вторая производная a(t₀) = s''(t₀) выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.

Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

уравнение касательной или

Уравнение нормали

53) Дать определение производной функции. Сформулировать и доказать основное свойство производной функции. Сформулировать правила дифференцирования и записать соответствующие формулы.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.

Пусть – дифференцируемые функции. Справедливы формулы:

где

где

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то также является функцией (ее обозначают также ).