5.5. Виконуваність, здійсненність і загальнозначущість

Розглянемо деяку інтерпретацію формули F в множині А. При логічній інтерпретації формул логіки предикатів можливі три основні ситуації:

Означення 5.12. Формула F(x₁, …, х_п) називається здійсненною в заданій інтерпретації М, якщо в цій інтерпретації для формули F існує така підстановка констант а₁, ..., а_п  М замість перемінних x₁, …, х_п, що F(а₁, ..., а_п) стає істинним висловленням. Формула називається просто здійсненною, якщо існує така інтерпретація М, де F здійсненна.

Означення 5.13. Формула F(x₁, …, х_п) називається тотожно істинною в області М, якщо F здійсненна в М при будь-яких підстановках констант. Формула F називається тотожно істинною (ТІ), чи загальнозначущою, якщо вона тотожно істинна в будь-яких М.

Приклад 5.23. Нехай Р⁽¹⁾(х) – це предикат „х – успішний підприємець”. Тоді формула, очевидно, що  х Р⁽¹⁾(х) здійснена в множині людей. Формула  х Р⁽¹⁾(х) є ТІ-формулою (або загальнозначущою), тому що тотожно істинна в будь-яких областях.

Означення 5.14. Формула F називається тотожно хибною в області М, якщо F нездійсненна в М, і тотожно хибною (ТХ), або протиріччям, якщо F нездійсненна ні в яких М.

Приклад 5.24. Для предикату з прикладу 5.23 формула  х Р⁽¹⁾(х) – „існує успішний приватний підприємець” є тотожно хибною, наприклад, в множині тварин, а формула - „існує приватний підприємець, який є одночасно успішним і неуспішним”, є ТХ-формулою (тотожно хибною) або протиріччям в будь-яких М.

Означення 5.15. Моделлю М у логіці предикатів називають множину М разом із заданою на неї сукупністю предикатів Σ={Р₁, ..., P_k}:

М=(М; Р₁, ..., Р_k),

де М – основна множина моделі М; Σ={Р₁, ..., P_k} – сигнатура моделі М΄. Наприклад, сигнатура моделі М΄={N; S, D, Е}, що називається арифметикою натуральних чисел, включає предикати суми S, добутку D и рівності Е. Аналогічно попередньому визначаються формули, здійсненні на моделі М΄, тотожно щирі (ТІ-формули) і тотожно хибні (ТХ-формули) на моделі М΄.

Приклад 5.25. Розглянемо модель М΄={N; S, D, Е} (арифметику натуральних чисел). Тоді формула (D(x, y, z)&D(x, y, і))→Е(z, і) – ТI-формула на моделі M΄ у силу єдиності значення добутку чисел з N. Дійсно, для будь-яких підстановок констант замість перемінних х, у, z, і, наприклад a, b, c, d N, формула (D(a, b, c)&D(a, b, d))→Е(c, d) має значення «істинна». Формула уD(x, х, у) – ТI-формула на моделі M, що виражає існування натурального квадрата натурального числа х. Дійсно, при підстановці будь-якої константи замість вільної перемінний х формула уD(x, х, у) істинна. Формула хD(x, х, у) здійсненна на моделі N: «існує натуральне значення квадратного кореня для натурального x з N» чи « – натуральне число x». Очевидно, формула істинна при підстановках замість вільної перемінної y чисел 0, 1, 4, 9, 16, ... і хибна при підстановці 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, ...; наприклад, хD(x, х, 4) – істинна, а хD(x, х, 5) – хибність.

Очевидно, формула А є загальнозначущою тоді й тільки тоді, коли формула не є здійснюваною, і здійснюваною тоді й тільки тоді, коли формула не є загальнозначущою.

Очевидно, якщо Р₁ і Р₂ – рівносильні (в логіці предикатів) формули, то Р₁  Р₂ є загальнозначущою формулою. (ТІ - формула). Приведемо приклади інших ТІ – формул.

Формула , де змінна не входить у формулу А(х), - загальнозначуща. (ТІ - формула).

Формула , де змінна у не входить у формулу А(х), є загальнозначущою.

Як зазначалося вище, однойменні квантори можна переставляти. Тому формули ,  будуть загальнозначущими.

Загальнозначущою є також формула .

Задача розпізнавання загальнозначущості формул логіки предикатів істотно складніша, ніж формул логіки висловлення. Так само, як і в логіці висловлення, вона називається проблемою розв’язуваності і формулюється так: указати ефективний спосіб (алгоритм) розпізнавання загальнозначущості формул (тобто чи є задана формула загальнозначущою).

Загалом ця проблема в логіці предикатів – нерозв’язувана. Наведемо це твердження без доведення.

Теорема Черча. Не існує алгоритму, який для будь-якої формули логіки предикатів установлює, загальнозначуща вона чи ні.

Однак у деяких окремих випадках проблема розв’язуваності вирішується. Наприклад, якщо розглядати формули логіки предикатів, які містять тільки одномісні предикатні символи, то такий алгоритм існує. Логіка, в якій використовуються тільки одномісні предикати, відповідає логіці, що була описана ще Аристотелем.

Алгоритм перевірки загальнозначущості формул, які містять тільки одномісні предикатні символи, ґрунтується на такому твердженні.

Твердження. Нехай F – формула, що містить n одномісних предикатних символів. Для того щоб формула F була здійснюваною, необхідно й достатньо, щоб вона була здійснюваною в усіх інтерпретаціях (M, f) із множиною M, які містять не більш як 2ⁿ елементів.

Вправа 5.3

1. Визначити істинність, хибність або виконуваність в області натуральних чисел наступних формул:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) у(х, х, у);

н) .

Якщо – відповідно предикати суми, добутку, рівності, порядку, подільності.