5.2. Квантори

Задля побудови складних предикатів крім операцій алгебри логіки можна застосовувати ще операції зв’язування квантором.

Квантор загальності. Нехай Р (х) – деякий предикат, який набуває значення 1 або 0 для кожного елемента х множини Х. Тоді під виразом матимемо на увазі істинне висловлення, коли Р (х) – істинне для кожного елемента х із множини Х, і хибне – в іншому випадку. Читається цей вираз так: «для всіх х Р (х)» або «для будь-якого х Р (х)». Це висловлення вже не залежить від х. Символ  називається квантором загальності.

Квантор існування. Нехай Р (х) – деякий предикат. Під виразом будемо розуміти істинне висловлення, коли існує елемент множини Х, для якого Р (х) – істинне, та хибне – в іншому випадку. Читається цей вираз так: «існує х таке, що Р (х)» або «існує х, для якого Р (х)».Символ  називається квантором існування.

Означення 5.8. Перехід від Р(х) до або називається зв’язуванням змінної х, або „навішуванням” квантора на змінну х (або предикат Р(х)), або квантифікацією змінної х. Змінна х при цьому називається зв’язаною. Вирази і вже не залежать від х, при фіксованих Р і Х мають певні значення. Вони представляють конкретні висловлення відносно всіх елементів х області визначення Х.

Квантори і називаються двоїстими один до одного.

Операцію зв’язування квантором можна застосовувати також до предикатів більшого числа змінних.

Означення 5.9. Вираз, перед яким стоїть квантор х або х, називається областю дії квантора загальності або існування.

Всі входження змінної х в цей вираз є зв’язаними.

Приклад 5.16. Нехай Р₁(х) позначає предикат „х – успішний підприємець”, який визначений на множині людей Х. Тоді зрозуміло, що має хибне значення, а має істинне значення.

5.3. Формули алгебри предикатів

На мові предикатів можна скласти набагато складніші речення, ніж на мові логіки висловлень. Уведемо поняття формули логіки предикатів. Алфавіт цієї логіки містить такі символи:

· предметних змінних x₁, x₂, ..., x_n ...;

· предикатів Р₁, Р₂, ..., Р_k (можливо з позначкою арності Р_i⁽ⁿ⁾);

· логічних операцій (),  ();

· кванторів ;

· дужки і кому.

Щоб зменшити кількість індексів, символи предметних змінних можна позначати х, у, z, а символи предикатів – Р, S, Q, R тощо.

Означення 5.10.

1 . Якщо Р – символ предиката, – символи предметних­ змінних, то – формула, яка на­­зивається атомарною.

Всі предметні змінні атомарних формул є вільними, зв’язаних змінних немає.

Слово в алфавіті алгебри предикатів називається формулою, якщо воно задовольняє наступному індуктивному визначенню:

Означення 5.12.

2. Нехай Р – формула. Тоді – також формула (вільні й зв’язані змінні формули – це відповідно вільні та зв’язані змінні формули Р).

3. Нехай P і S – формули, причому немає таких предметних змінних, які були б зв’язаними в одній формулі, але вільними в іншій. Тоді



є формулами, в яких вільні змінні формул P та S залишаються вільними, а зв’язані змінні формул P і S – зв’язаними.

4. Нехай P – формула, яка містить вільну змінну х. Тоді

xP, xP

також є формулами. Змінна х у них – зв’язана. Інші ж змінні, які у формулі P є вільними, залишаються вільними й у формулахxP, xP. Змінні, які у формулі P є зв’язаними, залишаються зв’язаними й у формулах xP, xP. У першій із формул xP формула P називається областю дії квантора , а в другій xP – областю дії квантора .

5. Слово в алфавіті алгебри предикатів є формулою тільки в тому випадку, якщо це випливає з правил 1–4.

Зазначимо, що за означенням формули жодна змінна не може бути одночасно вільною та зв’язаною.

Приклад 5.17. Такі вирази є формулами логіки предикатів: – атомарна формула, в якій х₁, х₂, х₃ – вільні змінні;  – формула, в якій х₁, x₂ – зв’язані, а х₃, x₄ – вільні змінні.

Вираз не є формулою.

Значення формули визначено лише тоді, коли задано яку-небудь інтерпретацію символів, що входять до неї.

Приклад 5.18. Нехай Р(х) – предикат «х – смертний» х визначений на множині людей X. Тоді вираз хР(х) означає «усі люди смертні». Він не залежить від змінної х, а характеризує всіх людей у цілому, тобто виражає висловлення щодо всіх х множини Х.

Приклад 5.19. Нехай Р(х) – предикат «х – парне число», визначений на множині натуральних чисел N.

Тоді хР(х) – істинне. У загальному випадку висловлення хР(х) істинно на будь-якій множині Х, що містить хоча б одне парне число, і хибне на будь-якій множині непарних чисел.

Приклад 5.20. Нехай N(x) позначає предикат «х – натуральне число» визначений на множині Х. Тоді вираз х N(х) – твердження «усі числа – натуральні» істинне на будь-якій підмножині Х множини натуральних чисел і хибне, якщо Х містить хоча б одне ненатуральне число, наприклад ціле відємне.

х(х) – твердження «існує натуральне х» істинно на будь-якій множині Х, що містить хоча б одне натуральне число, і хибне – у протилежному випадку.

Приклад 5.21. Нехай предикатові Р(х, у) відповідає відношення «х любить у», що визначений на множині людей. Тоді:

х уР(х, у) означає «для будь-якої людини х існує людина, яку вона любить» чи «усяка людина кого-небудь любить»;

у хР(х, у) означає «існує така людина у, що його люблять усі х»;

х уР(х, у) означає «усі люди люблять усіх людей»;

х уР(х, у) означає «існує людина, що когось любить»;

х уР(х, у) означає «існує людина, що любить усіх людей»;

у хР(х, у) означає «для всякої людини існує людина, що його любить» чи «кожну людину хтось любить».

З вище приведеного можна зробити висновок про те, що перестановка кванторів спільності й існування змінює зміст висловлення, тобто квантори спільності й існування не володіють у загальному випадку властивістю комутативності.