
- •12 Случайные велечины
- •16 Непр. Случайная. Величина.
- •28. Характеристические функции биноминального, пуассоновского и нормального распределений вероятности.
- •37. Следствия из центральной предельной теоремы.
- •38. Предмет и основные понятия математической статистики. Первичная обработка.
- •39. Первичная обработка выборки.
- •40. Точечные оценки параметров распределения.
- •46. Метод моментов.
- •49.Распределение отношения выборочных дисперсий 2 норм генер совокупностей.
- •50. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •51. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии
- •51. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии
- •52.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
- •53 . Проверка статистических гипотез
- •54 . Ошибки 1 и 2 рода
- •55. Критерий и его применение.
№1 Предмет теории вероятностей. Статистическая вероятность.
Предмет теории вероятностей.
Используется 2 основных типа моделей:
1)Детерминированная: При повторении заданного опыта в неизменных условиях, событие А происходит всякий раз.
П1. Опыт: К проводнику сопротивлением R приложено напряжение U. А={течет ток I=U/R}.
2) Вероятностная: При повторении опыта в неизменных условиях событие А может произойти или нет. Такие события и опыт называют случайными.
П2. Подбрасывают монету. A={Выпадет «герб»}.
ТВ изучает случайные события и их числовые характеристики.
Статистическая вероятность.
Еще в древности заметили статистическую устойчивость случайных явлений: если случайный опыт повторяется многократно, то отношение числа mn(A) появлений события А к числу n опытов приближается к некоторому числу P*(A). mn(A)/n= P*(A), n – велико.
P*(A) – статистическая вероятность. Используется при составлении частотных словарей, разработке клавиатуры и т.д.
№2 Случайные события и связанные с ними понятия. Алгебраические операции над событиями.
Случайные события.
Случайный опыт – это создание заданного комплекса условий и наблюдение результата. Результат интерпретируется как случайное событие(исход).
Пространство
элементарных исходов
– мн-во простейших(неразложимых в рамках
данного опыта на более простые)
взаимоисключающих исходов
так, что опыт всегда заканчивается
появлением одного и только одного
элементарного исхода
.
Случайное
событие –
любое подмн-во
пр-ва элем. исходов заданного случайного
опыта. Если результат опыта
,
то событие А произошло.
Основные понятия связанные со случайными событиями:
-
Всё пр-во элементарных исходов в
называется достоверным событием. Очевидно достоверное событие происходит в любом опыте.
-
Пустое множество Ǿ
называется невозможным событием. Очевидно невозможное событие не происходит в опыте.
-
Суммой событий А и В называется событие А+В состоящее из элем исходов входящих в мн-во
. Т.о. событие А+В состоит в том что произошло хотябы одно из событий А и В.
-
Произведение А и В это событие сост. из элементарных исходов входящих в мн-во
. Т.о. произведение А и В состоит в том что А и В произошли одновременно.
-
Разность событий А и В – событие состоящее из элементарных исходов, входящих в мн-во А\В. Т.о. событие А произошло, а В нет.
-
Событие А влечет за собой В, если А – подмножество В(
). Т.о. всякий раз, когда происходит А, происходит и В.
-
Событие
состоит из
, не входящих в А, называется противоположным А
-
События А и В называются несовместными если нет
входяих в А и в В одновременно.
Св-ва:
1)Коммутативность:
А+В=В+А; АВ=ВА.
2)Ассоциативность:
(А+В)+С=А+(В+С); (АВ)С=А(ВС).
3)Дистрибутивность:
(А+В)С=АС+ВС; А+ВС=(А+В)(А+С).
№3 Классическое определение вероятности.
События равновероятные, если нет объективных оснований для того, чтобы, одно из них было более или менее вероятным чем другое.
Случайный опыт удовлетворяющий условиям:
а)
конечно.
б) все элем. исходы равновозможны
называется классической схемой.
Пусть
классическая схема,
-число
элементарных исходов,
-
число исходов благоприятствующих
событию А. Тогда вероятность события
А:
Р(А)=
/
- формула классической вероятности.
Св-ва:
1)Р(А)>0
2)
3)Если А и В несовместны, (АВ= Ǿ), то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
№4 Геометрические вероятности
Пусть случайный опыт состоит в случайном выборе точки на прямой R1 или плоскости R2 или n мерного пространства Rn.
На прямой рассмотрим
только мн-ва
имеющие длину, на плоскости площадь, в
R3-объем,
в Rn-
обобщенный объем.
Длина, площадь,
объем – мера множества
.
Пусть случайная
точка
пропорциональна мере А (mes
A)
и не зависит от других обстоятельств.
Такой случайный опыт называется
геометрической схемой.
Пусть
геометрическая схема, событие
-измеримое
мн-во. Тогда вероятностью события А
называется число P(A)=mes(A)/mes(
)
П1. 2 судна должны подойти к причалу для разгрузки в течении суток. Одновременная разгрузка невозможна. Разгрузка любого из них длится 8 часов. С какиой вероятностью одно будет ожидать разгрузки другого?
х- время прихода однеого
y
у – время прихода
другого
(х,у)
в R2
={(х,у)
|
}
A
= {(х,у)
|
|x-y|
1/3}
mes()=1,
mes(A)=5/9;
P(A)=5/9
Cв-ва:
1)Р(А)
2)
3)А и В несовместимы.
№5 Понятие об аксиоматической вероятности
Пусть
событию
А, связанному со случайным опытом
сопоставлена P(A).
Это означает, что на мн-ве всех событий
F
определена числовая функция P(A),
.
Чтобы вместе с
вероятностью событий А и
можно было найти А+В, АВ, А-В,
,
,
,
Ǿ, нужно чтобы эти события входили в F,
т.е. чтобы F
было алгеброй событий.
Если
конечное или счетное мн-во, то алгеброй
событий F
будет мн-во всех подмн-в в
.
П1. А={ из 4х карточек 1,2,3 и 4 случайно выбирают одну}
Найдем F:
Ǿ
Пусть
-
множество элем. исходов, F
– алгебра событий. Числова функция
Р(А), определенная на F,
называется вероятностью, если она
подчиняется аксиомам:
-
Р(А)
,
(аксиома неотрицательности)
-
(аксиома нормировки)
-
Для
и В
, таких что АВ= Ǿ. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (аксиома сложения)
1)
2)-
вероятность элементарного исхода
В П1 Р
№6 Св-ва вероятности
Из основных св-в вероятности:
1) Р(А)
2)
3)АВ= Ǿ => Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Вытекают другие св-ва:
4)
5) Р(Ǿ)=0
6)
7)
8)Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
№7 Условная вероятность и ее свойства. Теорема умножения.
Пусть в случайном опыте Т могут появиться события А и В. Если известно что В произошло то говорят об условной вероятности события А при условии В Р(А/В).
В
произошло => реализуется один из N(B)
элементарных исходов
.
Из N(AB)
исходов
благоприятствуют A
Опр.
Пусть (,F,P)
– вер. пространства , А,
и
,
тогда усл.вероятностью А наз-тся число
:
Замеч.
1)Аналогично , если
:
2)
Теорема
умножения
Вер-ть
произведения
событий равна вер-ти одного из них и
умноженной на усл.вер-ть другой.
1.
2.
3.
4)Усл вер-ть обладает всеми св-ми дрю вер-тей.
5)
Усл. Вер-ть P(A/B)
можно рассм.,как обычную вероятность,
определенную на новом про-ве Эл. Исходов
6)
Для n
событий формула :
обобщаеться
№8 Независимые события, их свойства. Независимость в совокупности.
Опр. А независимое событие от В , если P(A/B)=P(A)
Свойства:
-
Свойство независимости взаимно, т.е. P(B/A)=P(B)
Т.е. А и В взаимно независимы.
2) Если А и В независимы , то P(AB)=P(A)*P(B) верно и обратное:
Опр. События А1,A2,A3,…,An независимы в совокупности , если любое из них не зависит от каждого из остальных n от всех возможных произведений этих остальных.
Опр. События A1,A2,…,An независимы в совокупности если : P(A1,A2,…,An)=P(A1)*P(A2)…P(An)
Замечание Для независимости в совокупности недостаточно попарной независимости.
№9 Формула полной вероятности.
Пусть
события H1,…,Hn
могут произойти в случайном опыте Т.
Эти события образуют полную группу
событийб если H1+H2+…+Hn=
Если
к томуже события {Hz}
попарно несовместимы (Hi,Hj
0,
i
j),
то они образуют полную группу несовместимых
событий , т.е. в каждом опыте происходит
одно и только одно из этих событий.
Теорема.
Пусть
в случ опыте могут произойти события
А,H1,..,Hn,
причем {Hi}
образуют полную группу несовместимых
событий , то
A=A*=A(H1+…+Hn)=AH1+…+AHn
P(A)=P(AH1)+P(AH2)+…+P(AHn)=> теоре. Умножения
P(A)=P(H1)P(A/H1)+…+P(Hn)P(A/Hn)
№10 Формула Байеса
Теорема В условиях предыдущей теоремы
P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk))/P(A)
По теореме умножения P(A)*P(Hk/A)=P(A*Hk)=P(Hk)P(A/Hk) /: P(A)
P(Hk/A)=(P(Hk)P(A/Hk)/P(A))
№11 Схема Бернулли
Повторные испытания – это проведение n раз одного и тогоже случ опыта или проведение одновременное n одинаковых опытов.
Схема Бернулли – это случ опыт состоящий в n повторных испытаниях, причем
-
z исхода (А-успех, (не)А – неудача)
-
испытания независимы , т.е. P(A) не зависит от исходов в др. испытыниях
-
p и q=1-p не изм от пыта к опыту
Найдем вер-ть pn,m появления ровно m раз успеха в серии из т испытаний.
В силу независимости
испытаний вер-ть каждого такого исхода
равно
Число таких элементарных исходов
Потому :
12 Случайные велечины
Случайная величина = это числовая переменная, принимающая свои значения в зависимости от исхода некоторого случайного опыта
Опр.
Пусть (,F,P)
– вер. Пространство, соответствующее
случ опыту Т. Числовая функция X=X(w),
определенная на
наз-тся случ величиной для
числа x
вещественного (
)
мн-во
x
= {
}
принадлежит алгебре событий F.Полную
инф-ю о случ величине ч содержит ее закон
расп-я , позволяющий найти Верн-ть для
события
, связанного с x
Опр. Функцией распределения (Вер-тей) случ величины x наз функция : Fx(x)=P{X<x}
Св-ва Fx(x)
1 P{a<=x<b}=Fx(b)-Fx(a)
Пусть есть события {x<b},{x<a},{a<=x<=b}
{x<b}={x<a}+{a<=x<=b}
2 P{a<=x<=b}=Fx(b+0)-Fx(a)
3 P{a<x<b}= Fx(b)-Fx(a+0)
4 P{a<x<=b}=Fx(b+0)-Fx(a)
5 P{x=a} = Fx(a+0)-Fx(a)
Другие свойства
1 Fx(x) не убыв функция
2 0<=Fx(x)<=1
3
Fx(-)=0
, Fx(+
)=1
4
Fx(x)
в t
точках aГR
непр слева
№13 Дискретная случайная величина
Опр Случайная величина X, мн-во значений которой конечно или счетно называеться случайной величиной дискретного типа (СВДТ)
Закон распределения СВДТ описываеться с помощью Fx, но удобнее представлять в виде ряда распределений
Fx(x)=P{X<x}=
Очевидно что сумма =1
Св-ва Fx(x) СВДТ :
а) кусочно постоянная
б) Fx(x)=0 при x<x1
в) в точка xi терпит разрыв 1-го рода
№14 Биноминальное распределение
Дискретная
X
имеет бин распределение с параметрами
n,
p(X~B(n,p)),
если X
принимает 0,1,…,n
с Вер-мя p(n,k)=
P{X=k}=
Очевидно B(n,p) описывает случ число успехов в серии n испытаний по схеме Бернулли с вер-тью успеха p.
Опр.
Пусть X-CВДТ
с рядом расп-й причем числовой ряд
сх-ся , тогда m=M[x]=
наз-ся математическим ожиданием
(m-ср.знач.X)
Для бин распр-я:
X=
, где Xk
0 1
P q p
M[x]=
Дисперсия B(n,p):
D[X]=
№15 Распределение Пуассона
Теорема Пуассона
Пусть
n->бесконечность
и n->0
так что np==const
, тогда
Случайная
величина X
со знач 0,1,2,…,k
и вер-ми pk=p{X=k}=
,
>0
имеем распр-е Пуассона с пар
(X~Pn(
))
З-и
Pn()
описывает явления с большим числом
испытаний и малой вер-тью успеха (з-н
редких явлений)
Мат ожидание :
Дисперсия
: Dx=
16 Непр. Случайная. Величина.
Опр.
X
наз-ся непр, если
неотриц функция Fx(x)(функция
плотности расп-я), так что :
Fx(x)=P{X<x}=
Св-ва fx(x) :
1
P{a<=X<b}=
2 для любого a принадлежащего ГR P{X=a}=0
3 fx(x)>=0
4
(условие нормировки
5 В точках непр-ти : fx(x)=F’x(x)
№17 Нормальный закон распределения
Непр
случайная величина X
распределена по нормальному з-ну распр-я
с параметрами m,t(X~N(m,t))
если ее функция плотности имеет вид
Распределение N(0,1) называеться стандартизированным нормальным :
Ф(x)=
-функция
Лапласа
Благодаря св-ву Ф(-x)=(-Ф(x)), x>=0 в таблицу можно приводить значения Ф(x) только для x>=0
Математическое ожидание
M[x]=
->
M[x]=m
Дисперсия
D[x]=
Найдем
для x~N(m,
)
P{a<x<b}
P{a<x<b}=
В
частном случае P{/X-m/<l}=2Ф(l/)-1
-
Случайный вектор. Функции совместного распределения вероятностей, её свойства.
-
Дискретный случайный вектор. Связь закона распределения двумерного случайного вектора с законами распределения его компонент. Независимость случайных величин. Условные законы распределения.
-
Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства.
22.
Начальные и центральные моменты
Опр. Начальным моментом k-ого порядка X называется число
αk[X]=M[X]
1) α1[X]=M[X]
2)
X
– СВДТ => αk[X]=∑
Xp
Опр. Центр. моментом k-ого порядка X называется число
μk[X]=M[(X-M[X])]
1) Сл.величина X-M[X]=X (с точкой сверху) наз-ся центрир. случ. величиной.
2) μ1[X]=0
Связь между αk[X] и μk[X].
μk=M[(X-M[X])]=
M[
X
(-1)
(M[X])
]=
=M[X
](M[X])
=>
μk[X]
=
αj[X]
* α
[X]
23. Дисперсия случайной величины
Опр. Дисперсией случ.величины X назыв. ее второй центральный момент μ2[X]:
D[X]
= M[(X-M[X])]
Для
X
– СВДТ: D[X]
=
pi
D[X] характеризует степень рассеяния, разбросанности значений X вокруг M[X].
Опр.
Среднеквадратическим отклонением X
назыв. число T[X]
=
Свойства:
1. D[X] больше, либо равно 0
2. D[C] = 0, C=const
3.
D[X] = M[X]-M
[X]
4.D[cX]
= cD[X]
5.Если X и Y независимы, то D[X+Y] = D[X]+D[Y]
D[X+Y]
= M[(X+Y-M[X+Y])
]
= M[(X-M[X]+Y-M[Y])
]
=
=
M[(X-M[X])
]+M[(Y-M[Y])
]
+ 2M[(X-M[X])]*M[(Y-M[Y])] = D[X] + D[Y]
24. Мат.ожидание и дисперсия СВНТ
Опр.
Пусть X
– СВНТ с функцией плотности fx(x),
причем
fx(x)dx
сходится абсолютно, тогда мат. Ожиданием
X
называется число M[X]
=
fx(x)dx
Опр.
Пусть X
– СВНТ с функцией плотности fx(x),
причем
fx(x)dx
сходится абсолютно, тогда дисперсией
X
называется число: D[X]
=
fx(x)dx
Замечание.
1)M[X] для X – СВНТ обладает теми же свойствами, что и для X-СВДТ
2)Опр-е нач. и центр. моментов сохр. на случай непр. случ. величины. Их свойства зависят от свойств M[X].
П1. X~N(m,τ);M[X] - ?
M[X]
=
dx=…=
m
= M[X]
П2. X~N(m,τ);D[X] - ?
D[X]
= =
dx=…
=
25. Функция случайной величины.
26.
Характеристики
распределения случайной величины: мода,
медиана, квантили, коэффициенты асимметрии
и эксцесса.
-
Характеристическая функция случайной величины, её свойства.