Свойства

Если случайные величины X₁ и X₂ независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ₁ и μ₂ и дисперсиями и соответственно, то X₁ + X₂ также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ₁ + μ₂ и дисперсией .

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Определение

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

,

где

• обозначает факториал,

• — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда

.

• Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно:

Равномерное распределение.

Пусть плотность распределения случайной величины является постоянной на интервале , и вне этого интервала. Поскольку , то , откуда

 .

Таким образом, плотность распределения равномерного закона представляется в виде

b

Найдем математическое ожидание равномерного закона распределения.

Найдем дисперсию

13. Закон больших чисел.

теорема. Неравенство Чебышева.

Для любых случайных величин, имеющих ограниченную дисперсию, выполняется неравенство

(вероятность больших уклонений значений случайной величины от математического ожидания мала).

Доказательство.

Пусть p(x) − плотность вероятности случайной величины . Воспользуемся формулой для дисперсии случайной величины:

Вся числовая прямая представляется в виде суммы двух подмножеств: множества , для точек которого имеет место неравенство

,

и множества , для которого имеет место противоположное неравенство

В силу аддитивности интеграла по области интегрирования имеем оценку

Из определения  следует, что

Следовательно,

Теперь вспомним правило нахождения вероятности попадания случайной величины на некоторое множество.

В частности,

Следовательно,

Теорема Чебышева (закон больших чисел).

Если случайные величины независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то среднее арифметическое этих случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию.

(для произвольного положительного числа вероятность любого, сколь угодно малого, уклонения величины от M стремится к 0 с ростом n).

Сущность закона больших чисел в том, что среднее арифметическое большого числа случайных величин теряет случайный характер. Его значение можно предсказать. С большой вероятностью оно будет близко к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство.

По теореме о математическом ожидании суммы, имеем

Для дисперсии получаем

В силу неравенства Чебышева получаем

Ч.Т.Д.