Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа исходов , благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных): .

Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0.

Геометрическое определение вероятности

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события есть отношение меры (длины, площади, объема) к мере пространства элементарных событий.

2. Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation). Например, есть множество, состоящее из 3 элементов - А, В, и С. Пример перестановки - СВА. Число всех перестановок из n элементов

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement). Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА - это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination). Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех размещений из n по m

Теорема сложения вероятностей и ее следствия

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:

.

Доказательство. Очевидно:

;

Тогда

.

Поскольку события и несовместны, то по аксиоме :

.

События и несовместны, и по аксиоме :

.

События и несовместны, по аксиоме :

.

Итак,

Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:

Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для слагаемых:

- формула включений и исключений.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Условная вероятность

Наступление события может повлиять на вероятность появления события . Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события .

Определение. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события и обозначается

.

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:

Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов.

Пусть:

• событие появилось в исходах опыта;

• событие появилось в исходах опыта;

• событие появилось в исходах опыта.

Вероятность события вычислим по классическому определению. Поскольку событие произошло, то всего возможных в этом случае исходов - ; при этом из этих возможных исходов благоприятны событию те исходы, которые составляют событие , т.е. исходов:

,

или

.

Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:

Следствие 2. Обобщим теорему на случай событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:

.

Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависи­мыми.

Для     независимых     событий     теорема     умножения Р (AB) = Р (А) Р_А (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В)

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи.

Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события “первое орудие поразило цель” и “второе орудие поразило цель” неза­висимы