3. Поясніть суть методів сильного зв’язку та майже вільних електронів.

В них вважають, що стан електрона в кристалі мало відрізняється від його стану в ізольованому атомі. Його можна застосовувати тільки для електронів, локалізованих на глибоких рівнях, воно не дає можливості кількісно описати стан валентних електронів у кристалі, але добре ілюструє загальні закономірності руху електрона в періодичному полі решітки та дозволяє розв’язати рівняння Шредінгера. Його розв’язання дає можливі значення енергії електрона в кристаллі та їх розподіл за цими енергетичними станами.

5. Запишіть функцію Блоха і сформулюйте відповідну теорему.

Функції виду називають функціями Блоха, а періодичність її амплітуди - теоремою Блоха.

де - плоска хвиля, що поширюється в напрямі вектора ; а - певна функція координат, яка не залежить від хвильового вектора і є періодичною з періодом решітки.

12. Поясніть утворення енергетичного спектра електронів у кристалі на прикладі моделі Кроніга-Пенні.

Для розв’язання рівняння Шредінгера зробили ряд спрощень: розглянули одновимірний кристал; представили кристал у якому чергуються потенціальні ями і потенціальні бар’єри; всі потенц. ями і бар. – прямокутні; всі ями однакові і бар. однакові.

Після підстановки функції Блоха отримали

Для області 1 (рівняння в обл. 1 = р-ню в обл. 3) (0<=x<=a, U(x)=0), якщо ввести отримаємо

Для області 2 (а<=x<=a+b, U(x)=Uо), якщо ввести отримаємо

Для обчислення сталих інтегрування А, В, С і D необхідно скористатися граничними умовами та умовою неперервності та її першої похідної, тобто роз’язати систему рівнянь:

Одну з умов існування роз’язку можна подати у вигляді

Введемо параметр Г, позначивши множник=Г>0.

Г.

Рисунок 3.5 - Графічний розв`язок рівняння.

8. Поясніть, у чому полягає процеc зведення до першої зони Бриллюена.

Якщо до довільного вектора , який характеризує стан електрона в кристалі, додати довільний вектор оберненої решітки , то не приведе до зміни стану електрона. З цього випливає, що стани електрона та + є еквівалентними. Отже є квазіхвильовим вектором.

Вектор визначений з точністю до вектора , тому довільну функцію, що описує кристал, можна перевести у довільну (звичайно першу) зону Бриллюена. Така процедура називається зведенням до першої зони Бриллюена. Перевага схеми зведених зон полягає в тому, що аналіз поведінки певної функції достатньо провести тільки в одній зоні.

13. Проаналізуйте, як змінюватиметься спектр електронів у граничному випадку: (наближення слабкого зв'язку).

Оскільки Г, то при отримоємо , тоді . Оскільки =>. Цей вираз збігається із залежністю (k) для вільних електронів (дозволених і заборонених зон немає).

14. Проаналізуйте, як змінюватиметься спектр електронів у граничному випадку: (наближення сильного зв'язку).

Оскільки Г, то розділивши рівняння на Г і підставивши отримаємо , тобто , де і т.д.

=>. Отже, при система енергетичних зон вироджується у систему рівнів.