III. Анализ задачного материала. Смотреть очень неудобно, ключевые задачи нужно приводить сразу в группе, к которой она относится. И потом не в каждой же группе только одна ключевая задача

В теме «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции» можно выделить шесть а у вас их далее 7?!? основных групп задач.

Группа 1. Одношаговые (дидактические задачи). Задачи на применение формулы вычисления площади треугольника, трапеции, параллелограмма для нахождения как самой площади, так и элементов многоугольника по известной формуле. К числу таких задач можно отнести следующие задачи: №№459, 460, 468, 471, 480(а, в). Пример ключевой задачи в этой группе?

Группа 2. Вторая группа – задачи, решаемые первым приёмом метода площадей: в треугольнике или параллелограмме известны две стороны и высота (две высоты и одна сторона), требуется найти другую высоту (сторону). В данной группе выделим такие задачи: №№464 (а, б, в), 469, 470 .

Группа 3. Задачи – формулы площади ромба, четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, задача – свойство высоты равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями и задачи, решаемые на основе этих формул. К числу таких задач можно отнести следующие задачи: №№476, 478, 477, 518(б), 519, 520. В данную группу входит также задача – формула о равенстве отрезков диагоналей трапеции: №511(в). Это задача на третий приём метода площадей (в треугольниках пара равных углов)

Группа 4. В данную группу относят задачи, при решении которых используется сравнение площадей на основе сравнения элементов, входящих в формулу площадей (в том числе задачи на доказательство и задачи, решаемые на основе задач на сравнение). В эту группу входят следующие задачи: №№467, 473, 474, 475, 505, 506, 508, 509, 510, 511(а, б).

Группа 5. Это самая многочисленная группа. В эту группу входят задачи, в которых требуется найти площадь фигуры по изученной формуле, но один элемент в формуле не известен, он находится из прямоугольного треугольника с углом в 30° или 45°. В данную группу можно включить следующие задачи: №), 461, 462, 463, 465, 482, 480(б), 481, 466, 515(б), 518(а), 523, 529.

Группа 6. В этой группе выделяют задачи, решаемые на основе следствий об отношении площадей треугольников (имеющих равные основания, равные высоты), т. е. задачи на второй приём метода площадей. В учебнике представлена только одна задача на этот приём: №473,474, 475, устные задачи 4, 5 [3, стр. 101], задачи 2.2, 4.2 [9, стр. 148]

Задача 4 [3, стр. 101]. На рисунке CM – медиана треугольника ABC, CK - медиана треугольника ACM. Найдите отношение площадей:

Задача 5 [3, стр. 101]. На рисунке точка M – середина стороны AB, K – середина стороны CD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что .

Задача 2.2 [9, стр. 148]. На стороне AC треугольника ABC с площадью 36 см² взята точка D так, что AD:DC=1:5. Найдите площадь треугольника ABD.

Задача 4.2 [9, стр. 148]. В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали AC взята точка M так, что AM:MC=4:1. Найдите площадь треугольника AMD.

Группа 7. В данную группу мы отнесли две задачи, решаемые третьим приёмом метода площадей, а именно, заменой отношения произведений длин сторон отношением площадей треугольников и наоборот: №№479, 511(в), устные задачи 6, 8 [3, стр. 101], задача 5 [7, стр. 54].

Задача 6 [3, стр. 101]. На рисунке угол A равен углу K, AC=5 см, AB=3 см, KN=7 см, KM=2 см. Найдите отношение

Задача 8 [3, стр. 101]. Площадь одного равностороннего треугольника в три раза больше площади другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

Задача 5 [7, стр. 54]. Точки M, K и P лежат соответственно на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC, причем AK=1/2KC, CM=1/3MB, BP=1/4PA. Найдите отношение площадей треугольников ABC и MKP.

Отдельно можно выделить задачу, решаемую алгебраическим методом, а именно, с помощью системы уравнений: №512.

Проанализировав задачный материал, нами был выделен следующий базис ключевых задач по теме.

Группа 2: №469

Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 18 см и 32 см, а высота, проведенная к стороне AB, равна 8 см. Найдите высоту, проведенную к стороне BC.

Решение.

1. 

2. 

3. 

Ответ: S=8 см

Группа 3: № 478

В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей.

Доказательство.

1. ABCD – выпуклый четырехугольник «разбивается» диагоналями AC и BD, например, на два треугольника BCA и ACD.

2. По свойству площади многоугольника: (*)

3. BD⊥AC (по условию задачи).

Рассмотрим BCA. В нем BO⊥AC, где AC – основание BCA. По формуле для нахождения площади треугольника имеем:

(1)

4. Аналогично рассуждая для ACD, получаем:

(2)

5. Подставим в (*) выражения (1) и (2):

Что и требовалось доказать.

Группа 4: №505

Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая – b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Доказательство.

1. Пусть в треугольнике ABC: BC=a, CA=b, AD – высота треугольника и пусть AD=h_a. Тогда .

2. Если стороны AC и BC не перпендикулярны, то AD<AC (перпендикуляр меньше наклонной), т. е. и поэтому .

3. Если же AC и BC перпендикулярны, то сторона AC совпадает с высотой AD, т. е. . В этом случае .

Таким образом, наибольшую площадь имеет тот треугольник, у которого стороны, равные a и b, перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Группа 4: №508*

Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Доказательство.

1. Пусть D – произвольная точка на основании AC треугольника ABC, а DM и DN – перпендикуляры, проведенные из этой точки к сторонам AB и BC соответственно.

2. .

3. Т. к. треугольник ABC равнобедренный, то

Из последнего равенства следует, что , т. е. сумма не зависит от выбора точки D.

Группа 5: №461

Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

1. S_ABCD= =ADBH;

2. Δ ABH – прямоугольный, где гипотенуза AB=12 см, L BAH=30°;

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

Значит, BH = AB

BH= 12 = 6 (см);

h= BH = 6 (см);

3. S_ABCD = AD BH = 146 = 84 ( )

Ответ: 84

Группа 6: № 474

Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Решение.

1. BH – высота (*)

2. AM=MC (**), т.к. BM – медиана.

3. По теореме об отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, и с учетом (*) и (**) имеем:

4. Значит, =

Ответ: =

Группа 7: № 511(в)

В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что выполняется равенство: .

Доказательство.