31. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Уравнение касательной для функции, заданной:

• В явной форме:

• В неявной форме:

или

• Для параметрически заданной функции:

t(t₁,t₂) или

при t=t₀,x₀=x(t₀),y₀=(t₀),

• В случае пространственной кривой, заданной параметрически :

Нормаль к кривой – прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.

• При задании кривой неявно уравнением F(x,y)=0 ур-е нормали в точке (x₀,y₀) можно записать в виде:

Касательная плоскость к поверхности S в точке М₀ – плоскость П, проходящая через точку М₀ и содержащая касательные ко всем кривым, проходящим через М₀ и лежащим на поверхности S в точке М₀.

• Уравнение касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в точке М₀(х₀, у₀, z₀) можно записать в виде:

• Если поверхность S задана явно ур-м z=f(x,y), то ур-е касательной имеет вид:

• Уравнение нормали к поверхности F(x,y,z) в точке М0(х₀,y₀,z₀) можно записать в виде:

32. Дифференциал функции.

Дифференциал высшего порядка

33. Формула Тейлора.

Если f – скалярная фун-я одной или многих переменных, имеющая непрерывные производные до порядка (n+1) включительно, то ее приращение в точке х₀, вызванное приращением аргумента х, можно представить в виде:

Эта формула применяется для вычисления приближенных значений.

34. Формула Лагранжа.

, где с – точка, лежащая между х и х₀.

35. Формула Маклорена.

При х=х₀ формула Тейлора называется формулой Маклорена.

36. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема1.

Пусть функция f имеет в точке х₀ конечную производную f’(x₀).

Если f’(x₀)>0 то существует окрестность U(x₀) этой точки такая, что f(x)>f(x₀) для любого х  U⁺(х₀) (из правосторонней окрестности).

f(x)<f(x₀) для любого х  U^-(х₀) (из левосторонней окрестности).

При f’(x0)<0 выполняются противоположные неравенства.

Точка наибольшего или наименьшего значения функции f(x) в области Х – точка х₀ (хХ), для всех хХ которых выполняется неравенство:

f(x)f(x₀) (f(x)f(x₀).

Теорема Ферма. Пусть фун-я f(x) определена на промежутке (a,b) и в точке с этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значения. Тогда, если существует f’(c), то f’(c)=0.

Теорема Ролля. Если:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2) существует конечная производная f’(x) на (а,b)

3) f(a)=f(b), то существует такая точка с, a<c<b что f’(c)=0.

Теорема Лагранжа. Если:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]

2) существует конечная производная f’(x) на (a,b),то найдется такая точка с, a<c<b, что

Теорема Коши. Если:

1) функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на [a,b]

2) существуют конечные производные f’(x) и g’(x) на (a,b)

3) g’(x)0 для всех х  (a,b),

то существует точка с  (a,b) такая, что

Теорема6. Если функция f(x) имеет в точке х конечную производную f’(x), то фун-я f дифференцируема в этой точке.

Теорема7. Если функция f(x) имеет в то х конечную производную и эта производная непрерывна в этой точке, то функция f дифференцируема в этой точке.

Правило Лапиталя.

Если:

1) функции f(x) и g(x) определены на (a,b)

2)

3) всюду на (a,b) существуют производные f’(x) и g’(x) причем g’(x)0

4) существует предел , то существует и предел

Теорема Лапиталя2. Если:

1) функции f(x) и g(x) определены на (a,b)

2)

3) всюду на (a,b) существуют производные f’(x) и g’(x), причем g’(x)0

4) существует предел , то существует и предел .