22. Таблица эквивалентных б.М.

б.м. при хх₀ или х , :

sinxx 7. ax – 1xlna,a>0,a1 sinkxkx 8. ex-1x arcsinxx 9. ln(1+x) x tgxx 10. (1+x)k – 1 kx arctgxx 11. loga(1+х) (logae)(x) 12.

В разности эквивалентом заменять нельзя!!!

Например:

нельзя заменить tgx и sinx на х.

23. Понятие производной.

Производная функции f(x) в точке Х₀ – предел отношения приращения функции к приращению аргумента (х0):

.

Конечный предел – производная функции в точке х₀. Обозначается: f’(x₀), y’(x₀), .

24. Физический, геометрический и экономический смысл производной.

Физический смысл:

f’(x) – есть мгновенная скорость в точке х₀ процесса, описываемого f(x).

Экономический смысл:

Если f(x) описывает экономический процесс, то f’(x) – предельная характеристика этого процесса в точке х₀.

Дифференцируемой называется функция f(x), если она имеет производную в точке х₀

Функция f(x) называется замкнутой на [a,b], если она дифференцируема на (a,b) и в точке х = а справа, в точке х=b слева.

Теорема1. Если f(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке. Обратное не выполняется.

Геометрический смысл производной:

y’(x)=tg, где  - угол между касательной, проведенной к функции в точке х₀ с осью О_х.

Уравнение касательной:

у-у0=f’(x0)(x-x0)

Матрица А в соотношении называется производной или матрицей Якоби и обозначается f’(x₀), f(x₀),.

Дифференциал функции f(х) – главная линейная часть относительно у.

Дифференцирование функции – процесс отыскания производной.

Теорема о дифференциале. Для того, чтобы в точке Х0 существовал дифференциал f(x), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

!В линейной функции дифференциал и приращение совпадают.

Свойство инвариантности (отличия) dy состоит в том, что дифференциал простой и сложной функции по виду одинаковые.

25. Таблица производных.

Частная производная функции f(x₁,x₂,…,x_n) по переменной х₁ – предел

, обозначается:

Смешанные частные производные – частные производные, в которые входит дифференцирование по различным переменным.

Правило дифференцирования:

Пусть функция v(x) и u(x) дифференцируемы в точке х, тогда в этой точке существует производная.

Свойства производных:

1. (u(x)v(x))’=v’(x)v’(x)

2. (u(x)v(x))’=u’(x)*v(x)+v’(x)*u(x)

3.

Правило дифференцирование обратной функции:

Обратная функция x = f^-1– функция, заданная неявно уравнением f(x)-y =0.

Если у=f(x) монотонная функция, то существует x=(y) на Y.

26. Производная сложных функций.

Теорема. Если y=f(x), а d(y) = z, и функция f дифференцируема в точке х, а функция d дифференцируема в точке f(x), то композиция отображений yd дифференцируема в точке х и

(yd)’ = (y’d) d или

где f=f[y₁(x),y₂(x),…y_k(x)].

26. Производная сложной функции.

Производная сложной функции:

Пусть функция y=f(u) (где u=(x)) - дифференцирована в точке х₀, а y=f(x) – в точке u₀=(x₀), тогда f((x)) – дифференцированы в точке х₀ и:

27. Производная высшего порядка.

Производная высшего порядка – производная от одной или нескольких производных.

28. Дифференцирование функций, заданных неявно.

Говорят, что функция y= f(x), x (a,b), неявно задана уравнением F(x,y)=0, если для любого числа х (который принадлежит интервалу (a,b) ) выполняется равенство: F(x, f(x))=0.

Для вычисления производной функции y= f(x) надо продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по х (рассматриваем левую часть как сложную функцию х), а затем полученное уравнение решить относительно f’(x).

29. Дифференцирование параметрически заданных функций.

Параметрически заданной называется функция y=y(x), если она возникла с помощью соотношений

,tT.

Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле:

Чтобы отыскать вторую производную, используем эту формулу 2 раза.

30. Производная по направлению.

Пусть даны скалярная функция f(M)=f(x₁,x₂,…,x_n) векторного аргумента, ненулевой вектор а и фиксированная точка М₀.

Тогда производной от функции f(M) в направлении вектора а в точке М₀ называется предел

и обозначается , при этом знак выбираем знак «+», если вектор M₀Ma,

« - », если M₀Ma.

Кривизна графика фун-и в точке М₀ – число k, определяемое равенством ,

Где - угол между касательными в точках М и М₀,

а  - длина дуги.