5. Частные классы отображений

Класс1. Числовая функция одного числового аргумента, X R, Y R: y=f(x).

Например: y=x2, y=, y= sinx

Класс2. Если x = (x1, x2, …xn), то y = f(x1, x2,xn) - числовая функция векторного аргумента (или числовая функция многих скалярных переменных), X Rn, Y R.

Например: y = x+ sin (x1 + x2 ).

Класс3. XR, yRn – f : XRYRn. – вектор-функция одной переменной, ставящая в соответствие каждому вещественному числу x из X вектор у = f(x) из Rn, т.е. каждая координата вектора f(x) есть скалярная функция скалярного аргумента х:

f (x) = [f1 (x), f2 (x), …, fn(x)]T

Класс4. XRn, YRm – вектор-функция векторного аргумента.

Полагая, что х = (₁ , ₂, …, _n ), у = (₁, ₂ ,…_m ), получим:

Координатные функции – функции f₁,f₂,,,,f_n в классах 3 и 4.

График функции f(x) - множество точек (x, f(x)).

В случае скалярной функции одного скалярного аргумента графиком функции f (x) является некоторая кривая.

В случае скалярной функции двух скалярных аргументов графиком f(x) является некоторая поверхность.

Монотонно возрастающей/убывающей функцией на множестве X называется функция f, если для любых двух точек х₁ и х₁ из Х, удовлетворяющих неравенству х₁< х₂, выполняется неравенство f(x₁)  f(x₂) и называется строго монотонно возрастающей, если из условия

х₁< х₂ следует f(x₁) < f(x₂).

Ограниченной называется функция f если множество ее значений Y={f(x), xX} ограничено.

Функция f(x) называется четной, если выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси у.

Например: f(x) = х², f(x) =х⁴, f(x) = cos(x)

Функция f(x) называется нечетной, если выполняется равенство f(-x) = -f(x). График нечетной функции проходит относительно начала координат.

Например: f(x) =x³, f(x) = sin(x)

Функция называется общей, если неизвестно: четная она или нечетная.

Функция называется периодической, в которой f(x+T)=f(x), где T – период.

Например: cos (x + 2) = cosx,

cos (wx) = cos (wx+2) = cosw(x +2/w)

Обратная функция – функция, противоположная данной.

Отображение функции – через заданные параметры х находим значения у.

6.Класс основных элементарных функций.

Степенная функция х^, где R

Показательная функция ax, а>0,a1.

Логарифмическая функция logax,a>0, a1.

Тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx.

Обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Часто используются функции

- гиперболический синус

- гиперболический косинус

7. Суперпозиция (композиция отображений)

Пусть и YY₁. Отображение f: XR_nZR_k называется суперпозицией (композицией) отображений  и Ф и обозначается f=Ф, если для любого х из Х имеет место соотношение f(x) = (Ф)х =  (Ф(х)).

Переменная у=Ф(х) называют промежуточной переменной или промежуточным аргументом.

8. Системы окрестностей

Окрестностью точки х₀ из R называется любой интервал (a,b), содержащий эту точку.

Частные виды окрестностей:

Симметричная U(x₀) точки х₀ радиусом >0,

Проколотая окрестность – окрестность U(x0), из которой удалена точка х₀, U(x₀)={xR, a<x<b, xx₀)};

Симметричная проколотая окрестность: U(x₀)={xR, 0<|x-x₀|<}.

Окрестностью бесконечно удаленной точки в R (U ()) называется внешность некоторого отрезка, т.е. множество точек, не принадлежащих этому отрезку.

Симметричной окрестностью точки называется внешность симметричного относительно нуля отрезка.

Окрестностью бесконечно удаленной точки в R_n (U ()) называется внешность шара с центром в начале координат либо внешность n – мерного куба, симметричного относительно начала координат.

Предельная точка (точка сгущения) – точка М₀, множества Х, если в любой ее окрестности есть хотя бы одна отличная от М₀ точка множества Х.

Внутренняя точка множества Х – точка М₀Х, входящая в множество Х вместе с некоторой окрестностью.

Граничная точка М₀ множества Х – такая точка, в окрестности которой есть точки как принадлежащие Х, так и не принадлежащие ему.