36. Комплексные числа.

Комплексным числом называется выражение вида z=x+iv, где x,y – действительные числа, i – мнимая единица, обладающая свойством .

x=Rez – действительная часть z

y=Imz – мнимая часть z

- модуль комплексного числа.

Сопряженным или комплексно сопряженным числу z=x+iy называется число z=x-iy.

Два комплексных числа считаются равными, если и равны их действительные и мнимые части.

1..

2.

3..

4..

Действительную и мнимую части комплексного числа можно найти:

.

.

Комплексные числа изображаются точкой на плоскости хОу. Если М – соответствующая точка, то длина является модулем комплексного числа. Угол ϕ, который образует с положительным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается и определяется с точностью до слагаемого, кратного 2π. Выделяют главное значение аргумента, которое определяется условием –π<argz≤π. .

Выражение z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид:

.

.

.

.

Формулы Муавра:

1..

2..

Показательная форма комплексного числа:

.

35. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

1.Непериодическая функция f(t) задана на отрезке [-π;π]. Рассмотрим функцию .

ϕ(t+2π)=ϕ(t) – эта функция называется периодическим продолжением функции f(t). ϕ(t) можно разложить в ряд Фурье, если функция f(t) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на [-π;π].

Так как функции ϕ(t) и f(t) совпадают на (-π;π), то на этом интервале ряд Фурье для функции ϕ(t) будет так же рядом функции для f(t), а в точках –π и π значение ϕ(t) и f(t) могут быть разными, а ряд Фурье будет сходиться к числу .

2.Если функция f(t) задана на (-π;π), то доопределив ее произвольным образом в точках –π и π мы приходим к первому случаю.

3.Если функция f(t) задана на [a,a+2π], то используем свойства интеграла от периодической функции. Мы можем считать, что эта функция задана на интервале от –π до π.

4.Если f(t) задана на интервале [0;π], то ее обычно продолжают четным или нечетным образом на промежуток [-π;0].Если f(0)≠0 и f(π)≠0, то функцию лучше продолжать четным образом, так как ряд по косинусам лучше убывает, чем ряд по синусам. Если f(0)=f(π)=0, то функцию лучше продолжать нечетным образом и ряд Фурье для нее будет рядом по синусам.

34. Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом.

Если f(t) периодическая функция с периодом T, удовлетворяющая условию теоремы Дирихле, тогда ее можно разложить в ряд Фурье вида.

.

.

.

.

.

Если функция непериодическая и задана на отрезке [-l;l], или на интервале (-l;l), или на [a;a+2π], или на [0;l], то строят периодическое продолжение этой функции аналогичным способом, как это было сделано раннее в случае периода, равного 2π.

Если функция четная, то ряд Фурье для этой функции имеет вид:

.

.

.

Если функция нечетная, то

.

.

33. Разложение а ряд Фурье четных и нечетных функций с периодом 2π.

1.Пусть функция f(z) – четная, тогда

.

.

.

- ряд Фурье для четной функции.

2.Пусть f(t) – нечетная функция, тогда

.

.

.

- ряд Фурье для нечетной функции.