Вопросы по прикладу

Темы обязательных задач по ТВ и МС (на оценку 3)

1. Определение операций над событиями и простейшие свойства (что означают и в каком случае происходят различные операции над событиями). Например, укажите, какая операция над событиями А и В означает, что события А и В не произошли:

А + В ; А + В; АВ + ВА или АВ .

2. Формула урновой схемы в прямой постановке (текстовая задача) с доведением ответа до числа.

3. Формула Бернулли (текстовая задача, возможны вопросы: найти вероятность хотя бы одного «успеха», не более двух «успехов» и т.д.)

4. Нахождение вероятностей событий по теоремам сложения и умножения вероятностей.

5. Текстовые задачи на формулу полной вероятности в прямой постановке с очевидным набором гипотез.

6. Текстовые задачи на формулу Байеса в прямой постановке с очевидным набором гипотез.

7. Ряд распределений дискретной случайной величины. Вычисление вероятностей (только безусловных) различных событий и вычисление числовых характеристик по известному ряду распределений.

8. Вычисление вероятностей попадания непрерывной случайной величины на заданный интервал по известной функции распределения.

9. Нахождение неизвестного параметра функции распределения или плотности распределения, если они заданы простейшими формулами.

10. Законы распределения и числовые характеристики биномиального, пуассоновского, геометрического, равномерного, показательного и нормального распределений (задачи на «узнавание» закона и определение характеристик)

11. Биномиальное распределение. Текстовые задачи на вычисление вероятностей по формуле Бернулли. Ряд распределений и числовые характеристики биномиального распределения (вопрос пересекается с вопросом №2).

12. Геометрический закон распределения. Текстовые задачи на вычисление вероятностей (в задачах может присутствовать только общее число опытов до первого успеха). Ряд распределений и числовые характеристики геометрического распределения.

13. Распределение Пуассона. Текстовые задачи на вычисление вероятностей по формуле Пуассона для схемы опытов Бернулли с большим числом опытов и малой вероятностью успеха. Ряд распределений и числовые характеристики распределения Пуассона.

14. Количество событий в простейшем потоке на заданном временном интервале. Вычисление вероятностей по формуле Пуассона.

15. Вероятность попадания случайной величины с показательным распределением на заданный числовой интервал. (Текстовая задача на вычисление вероятностей, связанных со временем между двумя соседними событиями в простейшем потоке, прямым текстом указано на показательное распределение).

16. Вероятность попадания случайной величины с нормальным распределением на заданный числовой интервал (текстовая задача, в которой прямым текстом указано на нормальное распределение и даны числовые характеристики)

17. Нахождение несмещенных оценок мат. ожидания и дисперсии по заданной выборке. Построение вариационного ряда.

18. Построение доверительного интервала для мат. ожидания при известной дисперсии по заданной выборке.

19. Построение доверительного интервала для мат. ожидания при неизвестной дисперсии по заданной выборке.

20. Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном мат. ожидании по заданной выборке.

Темы задач на экзамене по ПМ

1. Определение операций над событиями и простейшие свойства (что означают и в каком случае происходят различные операции над событиями). Напри­мер, укажите, какая операция над событиями А и В означает, что события А и В не произошли:

а)А+В;

б) А + В;

в) АВ + ВА ;

г) АВ

2. Вычисление вероятностей (в т.ч. условных) по классической формуле путем пересчета исходов в простейших случаях.

3. Вычисление вероятностей (в т.ч. условных) по классической формуле с ис­пользованием формул комбинаторики (в т.ч. формула урновой схемы)

4. Вычисление вероятностей (в т.ч, условных) по теоремам сложения и умно­жения вероятностей. Исследование событий на зависимость/ независимость (для двух событий)

5. Текстовые задачи на формулу полной вероятности и формулу Бейеса.

6. Ряд распределений дискретной случайной величины. Вычисление вероятно­стей (в т.ч. условных) различных характеристик по известному ряду распре­делений.

7. Текстовые задачи на построение ряда распределений и вычисление число­вых характеристик дискретной случайной величины (вероятности могут вы­числяться по формулам из вопросов 2,3,4,5)

8. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вычисление вероятностей (в т.ч. условных) различных событий по заданной плотности распределения

9. Даны ряды распределений случайных величин X и Y. Построить ряды рас­пределений случайных величин X+Y, X-Y, max(X,Y)< min(X,Y).

10. Вычисление вероятностей (в т.ч. условных) попадания случайной величины на заданный интервал по известной функции распределения или плотности распределения.

11. Биномиальное распределение. Текстовые задачи на вычисление вероятно­стей по формуле Бернулли. Ряд распределений и числовые характеристики биномиального распределения.

12. Распределение Пуассона. Текстовые задачи на вычисление вероятностей по формуле Пуассона для схемы опытов Бернулли с большим числом опытов и малой вероятностью успеха. Ряд распределений и числовые характеристики распределения Пуассона.

13. Количество событий в простейшем потоке на заданном временном интерва­ле. Вычисление вероятностей по формуле Пуассона.

14. Геометрический закон распределения. Текстовые задачи на вычисление ве­роятностей (в задачах может присутствовать как обще число опытов до пер­вого успеха, так и число неудачных опытов до первого успеха). Ряд распре­делений и числовые характеристики геометрического распределения.

15. Вычисление вероятностей (в т.ч. условных) для равномерного распределе­ния. Числовые характеристики. Графики функции распределения и плотно­сти равномерного распределения.

16. Вычисление вероятностей (в т.ч. условных) для показательного распределе­ния. Числовые характеристики. График плотности распределения.

17. Вычисление вероятностей различных событий для нормального распреде­ления. Правило «трех сигм». График плотности распределения.

18. Текстовые задачи на вычисление вероятностей различных событий, связан­ных с равномерным, показательным и нормальным распределением (показа­тельное может возникать в простейшем потоке)

19. Задан совместный ряд распределений дискретной двумерной случайной ве­личины. Построить ряды распределений, найти числовые характеристики для компонент.

20. По тем же данным найти коэффициенты ковариации и корреляции, иссле­довать сл. величины на зависимость/независимость.

21. Построить условный ряд распределений и найти условные числовые харак­теристики.

22. По тем же данным найти вероятности различных событий (в т.ч. условные).

23. Совместное равномерное распределение. Вероятность попадание в прямо­угольник. Построение совместной плотности и плотностей распределения компонент, числовые характеристики.

24. Текстовые задачи на вычисление вероятностей для совместного равномер­ного распределения двух случайных величин (геометрические вероятности).

25. Вычисление вероятности m успехов в n опытах при большом n по локальной теореме М-Л.

26. Вычисление вероятности отличия относительной частоты события от его вероятности по предельной теореме Бернулли (по следствию из теоремы М- Л).

27. Оценка вероятности отличия относительной частоты события от его веро­ятности по неравенству Чебышева,

28. Вычисление вероятности попадания числа успехов при большом числе опы­тов в заданные пределы по интегральной теореме М-Л.

29. Обратные задачи: найти пределы, в которых лежит число успехов с задан­ной вероятностью; найти необходимое число опытов, чтобы число успехов было не меньше заданного.

30. Построение вариационного ряда распределения, эмпирической функции распределения и оценка плотности распределения по выборке.

31. Вычисление выборочного среднего, выборочной дисперсии, ковариации и коэффициенте корреляции.

32. Вычисление несмещенных оценок мат. ожидания и дисперсии по выборке (для дисперсии - при известном и неизвестном мат. ожидании).

33. Построение доверительных интервалов для мат. ожидания нормального распределения при известной и неизвестной дисперсии.

34. Построение доверительных интервалов для дисперсии нормального распре­деления при известном и неизвестном мат. ожидании.

35. Нахождение минимального объема выборки по заданной точности и надеж­ности оценки мат. ожидания нормальной случайной величины.

36. Нахождение критических границ различных распределений по заданной ве­роятности.

37. Описать схему проверки гипотезы о законе распределения сл. величины для распределения Пуассона и биномиального распределения при заданном уровне значимости.

38. Описать схему проверки гипотезы о правильности игральной кости (куби­ка).

39. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей по выборкам.

40. Проверка гипотез о числовых значениях мат. ожидания и дисперсии по вы­борке.

41. Текстовые задачи на проверку гипотез о числовых значениях мат. ожидания и дисперсии.

42. Сравнение гипотетического распределения с равномерным и показатель­ным распределением по критерию «хи-квадрат».

43. Проверка гипотезы о равенстве мат. ожиданий двух сл. величин (текстовая задача).

44. Построение точечных оценок для коэффициентов парной линейной регрес­сии.

45. Построение интервальных оценок для коэффициентов парной линейной регрессии.

Список теоретических вопросов на экзамене по ПМ

1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо.

2. Исходя из трех аксиом теории вероятностей, докажите, что вероятность любого события А подчиняется неравенству Р(А) < 1.

3. Дайте определение события А , противоположного событию А. Докажите, исходя из трех аксиом теории вероятностей, что Р(А) = 1 - Р( А').

4. Если из появления события В непременно следует появление события А, то что представляют собой события А + В и АВ?

5. Если появление события В непременно влечет за собой появление события А, то как в этом случае соподчинены противоположные им события А и В ?

6. В условиях, при которых верна классическая формула вероятности (т. е. для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов), докажите, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

7. Приведите формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В. Пользуясь классическим определением вероятности, докажите эту формулу для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов.

8. Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.

9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по её классическому определению.

10. Приведите определение условной вероятности.

11. Зависимость и независимость двух событий (определение).

12. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

13. Сформулируйте условие, при котором для вычисления вероятности р(а^в) следует применять теорему умножения для зависимых событий. Приведите формулировку этой теоремы.

14. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие А не зависит от события В ?

15. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие А зависит от события В ?

16. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие В зависит от события А.

17. Докажите, что два несовместных события А и В (с положительными вероятностями наступления) всегда являются зависимыми.

18. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно утверждать, что гипотезы Н1, Нг, Н_п образуют полную группу событий.

19. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно для вычисления вероятности некоторого события А можно использовать формулу полной вероятности. Приведите формулировку и краткое доказательство формулы полной вероятности.

20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорем Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.

21. Функция распределения случайной величины и её свойства

22. Функция плотности распределения вероятности и её свойства

23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.

24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства

25. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Среднее квадратичное отклонение СВ.

26. Математическое ожидание непрерывной случайной величины и его свойства

27. Дисперсия непрерывной случайной величины и её свойства. Среднее квадратическое отклонение СВ.

28. Нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал через F(x), через /(*), через ряд распределения. Вероятность принять конкретное числовое значение для дискретной и непрерывной случайной величины.

29. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для математического ожидания биномиально распределенной случайной величины.

30. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для дисперсии биномиально распределенной случайной величины.

31. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до п с равной вероятностью. Вывести выражение для математического ожидания этой случайной величины.

32. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до п с равной вероятностью. Вывести выражение для дисперсии этой случайной величины.

33. Вывести выражение для математического ожидания альтернативно распределенной случайной величины.

34. Вывести выражение для дисперсии альтернативно распределенной случайной величины.

35. Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

36. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

37. Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по геометрическому закону.

38. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.

39. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по биномиальному, геометрическому закону и закону Пуассона (значения мат. ожидания и дисперсии)

40. В каких ситуациях на практике возникают биномиальное и геометрическое распределения?

41. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона? Какие значения может принимать случайная величина, распределенная по закону Пуассона?

42. Плотность распределения и функция распределения равномерной случайной величины, ее числовые характеристики.

43. Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики.

44. Плотность распределения и функция распределения нормальной случайной величины (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.

45. Функция Лапласа, ее свойства.

46. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок, правило «трех сигм».

47. Функции случайных величин и их числовые характеристики.

48. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения мат. ожидания и дисперсии).

49. Дайте определение совместной функции распределения двумерной случайной величины и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и/или приведите примеры их выполнения.

50. Что такое совместный ряд распределений дискретной двумерной случайной величины? Укажите его свойства. Как построить по этому ряду распределения ряды распределения компонент дискретной двумерной случайной величины?

51. Что такое совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины? Укажите ее свойства. Как построить по плотности совместного распределения плотности распределения и функции распределения компонент этой непрерывной двумерной случайной величины?

52. Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух случайных величин. Докажите, что для независимых случайных величин его значение равно нулю.

54. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда.

55. Эмпирическая функция распределения, ее свойства, способ построения по выборке.

56. Понятие оценок числовой характеристики или параметра случайной величины. Свойства оценок.

57. Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (математического ожидания) случайной величины.

58. Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии случайной величины.

59. Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.

60. Оценка плотности распределения выборки, ее свойства, способ построения.

61. Понятие точечных и интервальных оценок (доверительных интервалов) параметров случайной величины. Определения. Примеры.

62. Свойства точечных оценок параметров: несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).

63. Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии.

64. Отличие относительной частоты события от его вероятности по предельной теореме Бернулли (по следствию из теоремы М-Л).

65. Выборочный коэффициент ковариации (формула).

66. Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания.

67. Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.

68. Доказать, что исправленная выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии.

69. Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?

70. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью у ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (вывод).

71. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью у) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (вывод).

72. Интервальная оценка дисперсии случайной величины по выборке при известном и неизвестном математическом ожидании (формулы)

73. Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для математического ожидания в случае нормального распределения.

74. Назначение и суть метода моментов.

75. Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.

76. Что такое ошибка 1-го рода?

77. Что такое ошибка 2-го рода?

78. Что такое критическая область?

79. Что такое уровень значимости?

80. Что такое мощность критерия?

81. Какой критерий называется наиболее мощным?

82. Что такое критерий согласия?

83. Сформулируйте критерий согласия X¹.

Примечание: вопросы по мат. статистике (в основном, по разделу парная линейная регрессия и анализ временных рядов) могут быть дополнены (изменены), о чем будет объявлено немедленно.