Многозначные отображения

Прямые отображения

Прямым отображением 1-го порядка вершины х_i является множество таких вершин графа, для которых существует дуга (х_i, x_j), т. е Г¹( х_i ) = {x_j : дуга (х_i, x_j) A} для графа G = (X, A), где X ={ х_i }, i =1, 2, ..., n – множество вершин, а A = {a_i}, i = = 1, 2, ..., m – множество дуг.

Прямое отображение 2-го порядка вершины х_i – это прямое отображение от прямого отображения 1-го порядка, т. е. Г⁺²( х_i ) = Г⁺( Г⁺¹ ( х_i ) ).

Аналогично можно записать для прямого отображения 3-го и т. д. n-го порядка.

Г⁺³(x_i)= Г⁺(Г⁺²(x_i))= Г⁺(Г⁺(Г⁺¹(x_i)))

...

Г⁺ⁿ(x_i)=Г⁺(Г^+(n-1)(x_i)).

Рис. 3.1.  Орграф G

Прямые многозначные отображения для графа на рис. 3.1 находятся следующим образом:

Г⁺¹(x₁)=(x₂,x₃),

Г⁺²(x₁)=Г⁺(Г⁺¹(x₁))=Г⁺(x₂,x₃)=(x₃,x₅),

Г⁺³(x₁)=Г⁺(Г⁺²(x₁))=Г⁺(x₃,x₅)=(x₃,x₁) и т. д.

Обратные отображения

Обратным отображением 1-го порядка для вершины х_i является множество элементов x_j таких, что существует дуга(x_j, х_i), принадлежащая множеству дуг графа, т. е.

Г^-1(х_i ) = { x_j : дуга (х_j, х_i) А }.

Обратные отображения 2-го, 3-го и т. д. n-го порядка определяются следующим образом:

Г^-2(x_i)= Г^-(Г^-1(x_i)),

Г^-3(x_i)= Г^-(Г^-2(x_i)),

...

Г^-n(x_i)= Г^-(Г^(n-1)(x_i)).

Для графа на рис. 3.1 обратные многозначные отображения вершины х₁ находятся следующим образом:

Г^-1(x₁)=x₅,

Г^-2(x₁)= Г^-(Г^-1(x₁))=Г^-(x₅)= x₂,x₄,

Г^-3(x₁)= Г^-(Г^-2(x₁))=Г^-(x₂x₄)= x₁,

Г^-4(x₁)= Г^-(Г^-3(x₁))=Г^-(x₁)= x₅ и т.д.

П р и м е ч а н и я:

1. Когда отображение действует не на одну вершину, а на множество вершин Х_q = { х₁, х₂, ..., х_q }, то под Г(Х_q) понимают объединение

Г(х₁) Г(х₂) ... Г(х_q).

2. Многозначное отображение для неориентированного графа строится, если представить каждое ребро двумя противоположно направленными дугами (рис. 3.2).

Рис. 3.2.  Граф: а – неориентированный; б – тождественный ему ориентированный

Транзитивные замыкания

Прямое транзитивное замыкание

Прямым транзитивным замыканием некоторой вершины х_i – T⁺( х_i )является объединение самой вершины х_iс прямыми отображениями 1-го порядка, второго порядка и т. д., т. е.

T⁺( х_i ) = х_i Г⁺¹ ( х_i ) Г⁺²( х_i ) ...

Многозначные отображения находятся до тех пор, пока в них добавляются новые вершины.

Так, для графа на рис. 3.1.

Г⁺¹ ( х₁ ) = { х₂, х₃ }, Г⁺²( х₁ ) = { х₃, х₅ }, Г⁺³( х₁ ) = { х₃, х₁ }, Г⁺⁴( х₁ ) = {х₂, х₃}.

Отображение четвертого порядка содержит те же элементы, что и отображение 1-го порядка, следовательно, других элементов в последующих отображениях не появится. Транзитивное замыкание для вершины х₁получается следующим образом:

T⁺( х₁ ) = х₁ { х₂, х₃ } { х₃, х₅ } { х₃, х₁ } = { х₁, х₂, х₃, х₅ }.

Проанализировав множество вершин, входящих в T⁺( х_i ), можно сделать вывод: прямое транзитивное замыкание содержит вершины, в которые есть пути из вершины х_i. Таким образом, можно дать второе определение T⁺( х_i ).

Прямое транзитивное замыкание некоторой вершины х_i T⁺( х_i )– это множество вершин, достижимых из вершины х_i, т. е. T ( х_i ) = { х_j | путь из х_i в х_j }.

Обратное транзитивное замыкание

Обратным транзитивным замыканием некоторой вершины х_i –T^-( х_i )является объединение этой вершины с обратными отображениями 1-го, 2-го и т. д. n -го порядка, т. е.

T^-( х_i ) = х_i Г^-1(х_i ) Г^-2(х_i ) ...

Иначе, обратное транзитивное замыкание для некоторой вершины х_i – T^-( х_i ) – это множество вершин, из которых достижима вершина х_i, т. е. T^-( х_i ) = { x_j | путь из x_j в х_i }.

Рассмотрим построение обратного транзитивного замыкания для графа на рис. 3.1.

Г^-1(х₁) = { х₅ }, Г^-2(х₁) = { х₂, х₄ }, Г^-3(х₁) = { х₁ }, Г^-4 (х₁) = { х₅ },

T^-(х₁) = х₁ { х₅ } { х₂, х₄ } { х₁ } { х₅ } = {х₁, х₂, х₄, х₅}.

Нахождение транзитивных замыканий по матрице смежности

Рассмотрим метод нахождения прямого транзитивного замыкания по матрице смежности, показанной на рис. 3.3,а для вершины х₂графа, изображенного на рис. 3.3,б. На 1-м шаге итерации заносим 0 в столбец Т⁺для элемента х₂и просматриваем 2-ю строку матрицы. Находим, что элементы a₂₂=1и a₂₅=1. Заносим 1 в 5-ю клетку Т⁺. 2-я клетка уже занята нулем, поэтому 1 не заносим. 2-й шаг начинается просмотром 5-й строки матрицы смежности, соответствующий вершине х₅графа. Находим, что элементы a₅₁=1 и a₅₄=1, т. е. из вершины х₅ имеются дуги в вершины х₁ и х₄ или иначе из вершины х₂ имеются пути длиной 2 в вершины х₁ и х₄. Длину пути 2 заносим в 1-ю и 4-ю клетки столбца T⁺(х₂). На 3-м шаге анализируются 1-я и 4-я строки матрицы смежности А. Находим элементы a₁₂=1, a₁₃=1, a₄₃=1. В соответствующие свободные клетки заносим значения

Рис. 3.3.  Построение прямого (а) и обратного (в) транзитивных замыканий

Это возможно сделать только для вершины х₃, так как вторая клетка уже занята. Анализ 3-й строки матрицы на 4-м шаге показывает, что из вершины х₃ нет исходящих дуг, следовательно, процесс формирования прямого транзитивного замыкания завершен.

Таким образом, в столбце T⁺(х₂)стоят числа равные длине пути от вершины х₂ к соответствующим вершинам графа. Путь от х₂ к х₃равный 3 показан штриховой линией на рис. 3.3,б. В столбце T⁺(х₂) отмечены все вершины, достижимые из вершины х₂, следовательно, они входят в T⁺(х₂).

T⁺( х₂ ) = { х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ }.

Во втором столбце показано построение прямого транзитивного замыкания вершины х₁ – T⁺(х₁).

T⁺( х₁ ) = { х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ }.

Нахождение обратного транзитивного замыкания по матрице смежности показано на рис. 3.1,в. Рассмотрим нахождение обратного транзитивного замыкания вершины х₃ – T^-( х₃ ), которое начинается с занесения 0 в 3-ю клетку строки T^-( х₃ ). На 1-м шаге алгоритма, помеченного стрелкой с цифрой 1, просматриваем 3-й столбец матрицы А. Определяем элементы равные 1, т. е. a₁₃=1 и a₄₃=1. Следовательно, в графе из вершин х₁ и х₄ есть дуги в вершину х₃. Заносим 1 в 1-ю и 4-ю клетки T^-(х₃). На втором шаге просматриваем 1-й и 4-й столбцы матрицы A. Находим a₅₁=1, a₆₁=1, a₅₄=1и проставляем 2 (так как длина пути от этих вершин до вершины х₃ равна 2) в свободные клетки T^-(х₃), т. е. в 5-ю и 6-ю клетки. 3-й шаг заключается в просмотре 5-го и 6-го столбцов матрицы A. Элементы a₂₅=1, a₆₅=1, a₆₆=1 позволяют поставить 3 во 2-ю клетку строки T^-( х₃ ). 4-й шаг просмотра 2-го столбца дает элементы a₁₂ = 1 и a₂₂ = 1, уже вошедшие в T^-(х₃). Итак, сформировано обратное транзитивное замыкание для вершины х₃.

T^-( х₃ ) = { х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ }.

Числа, стоящие в клетках T^-( х₃ ), показывают длину кратчайшего пути от соответствующих вершин до вершины х₃.

Во второй строке показано формирование обратного транзитивного замыкания вершины х₁.

T^-( х₁ ) = { х₁, х₂, х₅, х₆ }.