
Высшая математика (Интегралы и дифференциальные уравнения) / 02 семестр / Лекции и семинары / Лекции по матану(html) / mathan2s / usint / UsingInt / UsingInt
.doc13. Приложения определенного интеграл.
13.1. Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем.
В
этом разделе мы рассмотрим некоторые
приложения определённого интеграла, в
основном, геометрические - к вычислению
площадей и объёмов. Здесь мы приведём
уравнения и изображения ряда кривых,
которые с которыми будем работать
дальше.
-
Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром
радиуса
:
.
Если окружность проходит через начало
координат, то
,
и уравнение принимает вид
.
В полярных координатах это уравнение
выглядит так:
.
На
рисунке справа
приведены три такие окружности
(
),
(
),
(
).
-
Спирали: спираль Архимеда
. На рисунке изображены спирали
и
. Логарифмическая спираль
. На рисунке изображены спирали
и
.
Г
иперболическая
спираль
.
На
рисунке изображены спирали
и
.
Стрелками на всех спиралях указано
направление возрастания параметра
.
-
К
ардиоида
. Три таких кривых изображены на рисунке справа.
Декартово уравнение
кардиоиды:
;
Параметрические уравнения кардиоиды:
Кардиоида - частный
случай улитки Паскаля
.
-
Лемниската Бернулли
.
Подкоренное
выражение неотрицательно при
и
. Декартово уравнение лемнискаты
.
Л
емниската
- геометрическое место точек
таких, что
,
где
и
- фокусы лемнискаты.
На рисунке изображена
лемниската с
.
-
Четырёхлепестковая роза
. Декартово уравнение
.
Каждая точка
этой кривой - основание перпендикуляра
,
опущенного из начала координат на
отрезок
постоянной
длины
,
движущийся так, что его концы находятся
на осях координат.
-
Р
азвёртка (эвольвента) окружности
Каждая точка
этой кривой - конец нити, которая
разматывается с окружности
,
оставаясь в натянутом состоянии. В
начальный момент
конец нити находится в точке
.
-
Циклоида
Эта кривая - траектория точки
окружности радиуса
, которая без скольжения катится по оси
. В начальный момент
точка находится в точка
.
8
.
Астроида
Декартово
уравнение
.
Каждая точка
этой кривой - основание перпендикуляра
,
опущенного из начала координат на
отрезок
постоянной
длины
,
движущийся так, что его концы находятся
на осях координат. Точка
-
вершина прямоугольника, построенного
на отрезке
как диагонали. На рисунке приведена
астроида с
.
13.2. Площадь плоской области.
13.2.1.
Декартовы координаты.
В пункте 11.1.4.
мы
сформулировали Геометрический
смысл определённого интеграла:
если
на отрезке
,
то
равен площади криволинейной трапеции
,
ограниченной снизу отрезком
,
слева и справа - прямыми
и
,
сверху - функцией
.
Следствие: если фигура ограничена сверху
кривой
,
снизу - кривой
,
слева и справа - отрезками прямых
и
,
то её площадь равна
.
Пример: Найти площадь области
,
ограниченной кривыми
при
условии, что
(дальше мы будем писать так:
).
При решении таких
задач следует обязательно изобразить
исследуемый геометрический объект. Для
определения нижнего предела интегрирования
надо найти точку пересечения кривых,
уравнение
имеет два корня:
и
;
Подходящий корень
-
.
Область ограничена сверху параболой,
снизу - прямой, справа - прямой
,
крайняя левая точка -
,
поэтому
Если
область имеет более сложную структуру,
её следует разбить на простые части .
13.2.2.
Область задана в полярных координатах.
Если область
- сектор, ограниченный лучами
,
и кривой
,
формула для вычисления площади получается
с помощью следующей интегральной
конструкции. Разобьём промежуток
лучами
на
частей;
.
На каждом из отрезков
выберем произвольную точку
,
найдём
,
тогда
равно площади сектора круга, ограниченного
лучами
,
и дугой окружности радиуса
.
Объединение этих секторов - снова
ступенчатая фигура, приближающая данную
область
,
её площадь
.
При
разница между
и
- площадью области
- будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.
Примеры: 1. Найти
площадь, ограниченную лемнискатой
.
Решение: точки
лемнискаты расположены в секторах
и
;
кроме того, при решении таких задаче
целесообразно использовать симметрию
фигуры, поэтому мы найдём площадь части,
расположенной в секторе
и учетверим её:
2. Найти площадь,
лежащую внутри кардиоиды
вне окружности
.
Решение: найдём
разность площадей, лежащих внутри
кардиоиды и окружности. Для верхней
части кардиоиды
;
для верхней части окружности
,
поэтому
3.
Найти площадь, лежащую внутри окружности
вне лемнискаты
.
Решение. Точки
пересечения лемнискаты и окружности
находятся из условия
,
Область симметрична
относительно полярной оси, поэтому
вычисляем площадь верхней части и
удваиваем её. При изменении
от
до
полярный радиус
меняется от
до
;
при изменении
от
до
полярный радиус меняется от 0
до
;
поэтому
13.2.3. Область
ограничена кривыми, заданными
параметрически.
Если кривая, ограничивающая криволинейную
трапецию
(см. 11.1.1.
Вычисление площади криволинейной
трапеции)
задана в
параметрическом виде
;
то переход в интеграле
к переменной
приводит к формуле
.
Пример: найти
площадь, ограниченную астроидой
(
).
Решение: используем
симметрию фигуры. Мы найдём площадь
части фигуры, расположенной в первом
квадранте (),
и учетверим её. Точка
получается при
,
точка
- при
,
поэтому
13.3. Вычисление длин кривых.
13.3.1.
Определение спрямляемой кривой и длины
кривой. Пусть
на плоскости задана кривая
.
Разобьём эту кривую точками
на
частей и впишем в кривую ломаную
,
соединяющую эти точки. Длина
этой ломанной равна сумме длин
прямолинейных звеньев, соединяющих
точки разбиения:
.
Устремим теперь количество
точек разбиения к бесконечности так,
чтобы максимальная длина звена
стремилась к нулю. Если при этом
существует конечный предел последовательности
длин ломаных
,
не зависящий от способа разбиения
кривой, то кривая называется спрямляемой,
а значение этого предела называется
длиной кривой
.
13.3.2.
Длина кривой в декартовых координатах.
Пусть теперь кривая
- график функции
,
имеющей непрерывную производную
,
.
Тогда точка
имеет координаты
,
звено
имеет длину
.
Функция
на отрезке
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа,
поэтому существует точка
такая, что
.
С учётом этого длина звена
равна
,
длина всей ломаной -
.
Последняя сумма - интегральная сумма
для интеграла
,
и, вследствие непрерывности подынтегральной
функции, стремится к нему при
.
Итак, длина кривой, заданной декартовым
уравнением
,
,
определяется формулой
.
Пример: Найти
длину отрезка параболы
от точки
до точки
.
Решение:
,
поэтому
.
13.3.3.
Кривая задана параметрически
.
Заменим в
переменную
на переменную
.
Так как
,
то
.
Итак, длина кривой, заданной параметрически,
определяется формулой
.
Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.
Решение: кривая
задаётся уравнениями
.
13.3.4.
Кривая задана в полярных координатах.
Случай, когда кривая задаётся уравнением
,
,
легко сводится к предыдущему. Так как
,
то, рассматривая полярный угол
как параметр, получим
,
поэтому
.
Пример: найти
длину кардиоиды
.
Решение:
,
поэтому
.
Ответ явно бессмысленен. Где ошибка?
Ошибка в том, что упущен знак модуля при
извлечении корня из
.
Правильное решение:
О
днако,
как и в предыдущих случаях, проще
воспользоваться симметрией фигуры,
найти длину верхней ветви и удвоить её:
13.4. Объёмы тел вращения.
13.4.1.
Вычисление объёма тела по площадям
поперечных сечений.
Пусть тело
расположено в пространстве между
плоскостями
и
,
и для
известна площадь его поперечного сечения
.
Требуется определить объём этого тела.
Рассечём это тело
плоскостями
на
слоёв (
),
на каждом из отрезков
возьмём произвольную точку
;
будем считать, что объём слоя, заключенного
между плоскостями
и
приближённо равен объёму
цилиндрика с площадью основания
и высотой
:
.
Сумма объёмов
- объём ступенчатой фигуры - при
стремится к искомому объёму
,
поэтому
.
13.4.2.
Объём тела, получающегося при вращении
кривой вокруг координатной оси.
Если объём
получается в результате вращения кривой
,
,
вокруг оси
,
то, очевидно,
,
поэтому
.
Пример: найти
объём эллипсоида, получающегося при
вращении эллипса
вокруг оси
.
Решение:
эту задачу проще решить, если применить
параметрические уравнения эллипса:
.
Верхняя дуга эллипса получается при
изменении
от 0 до
,
при этом точке крайней левой точке
эллипса соответствует значение параметра
,
равное
,
крайней правой точке соответствует
значение
.
Формула
для кривой, заданной параметрически,
примет вид
,
поэтому
.
Если
требуется найти объём тела, которой
получается при вращении плоской фигуры
вокруг оси
,
рассуждаем по другому. Разбиваем тело
на полые цилиндры радиуса
,
толщины
,
высоты
.
Объём этого цилиндра равен произведению
длины окружности
на толщину
и
высоты
;
суммируя эти объёмы и переходя к пределу
при
,
получим
.
13.4.3.
Объём тела, получающийся при вращении
сектора, ограниченного кривой
и двумя полярными радиусами
и
,
вокруг полярной оси находится
по формуле
.
Пример: найти объём тора, полученного
вращением окружности
вокруг полярной оси.
Решение:
.
13.5. Площадь поверхности вращения.