26. Иррациональные уравнения.

Уравнения, в которых поз знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

Пример 1.

Ответ: 1,3.

Пример 2.

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат. x² - 3 = 1; Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых. x² = 4; Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня  -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение. Проверка. При x₁ = -2   - истинно: При x₂ = -2  - истинно. Отсюда  следует, что исходное иррациональное уравнение   имеет два  корня -2 и 2.

Пример 4. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x - 9 0;

x 9;

б) 1 - x 0;

-x -1 ;

x 1.

ОДЗ данного уранения: x .

Ответ: корней нет.

27. Степень с рациональным показателем.

Степенью числа а>0 с рациональным показателем r=, где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число .

Свойства:

1)a^m*aⁿ=a^m+n;

2)a^m:аⁿ=a^m-n (а≠0);

3)(а^m)ⁿ = а^mn;

4)(ab) ⁿ = aⁿ*bⁿ;

5)(b≠0);

6)а¹=а; а⁰=1 (а≠0).

7)

8)

28. Показательная функция: основные понятия, ее свойства и график.

Функцию вида y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1 , называют показательной функцией.

 

у=2^х  график функции– функция возрастающая

у= график функции– функция убывающая

Свойства:

1. D(f) = R, т.к. х – любое

2. Е(f) = R+, т.к. если a > 0, то и a^x > 0

3. Функция возрастает при a > 1, т.к. a^x1 > a^x2, если х1 > х2, функция убывает при 0 < a < 1, т.к. a^x1 > a^x2, если х1< х2.

4. График показательной функции обязательно проходит через точку (0;1), т.к. если х = 0, то у = 1.

Основные свойства степени:

29. Показательные уравнения. Решение показательных уравнений .

Рассмотрим простейшее показательное уравнение

а ^x= b, (1)

где а>0 и а≠1. Область значений функции у = а^x — множество положительных чисел. Поэтому в случае b<0 или b=0 уравнение (1) не имеет решений. Пусть b>0. Функция у = а^x на промежутке (—∞;∞) возрастает при а>1 (убывает при 0<а<1) и принимает все положительные значения. Применяя теорему о корне, получаем, что уравнение (1) при любом положительном а, отличном от 1, и b>0 имеет единственный корень. Для того чтобы его найти, надо b представить в виде b = а^c. Очевидно, что с является решением уравнения а^x = а^c

30. Показательные неравенства.

Решение простейших показательных неравенств основано на известном свойстве функции y= ,эта функция возрастает при а>1 и убывает при 0<а<1.

Решим неравенство >. Показательная функция у= возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству +2х>3,решая которое, получим ответ (-∞;-3) и (1;∞).