Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

.

Теорема. Если функции линейно зависимы, то

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

. Тождество можно дифференцировать, поэтому

. Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

, что выполнены соотношения

.

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

- линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Билет 16

Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение - го порядка с постоянными коэффициентами.

.

Будем искать его решение в виде . Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, получим характеристическое уравнение

.

Каждому корню характеристического уравнения будет соответствовать определенное слагаемое в общем решении однородного уравнения. Если корень кратный кратности r, то такому корню будет соответствовать группа из r слагаемых в общем решении.

Если среди корней характеристического уравнения есть простой действительный корень , то ему соответствует частное решение в фундаментальной системе решений и слагаемое в .

Если все корни характеристического уравнения действительны и различны, то соответствующие им частные решения будут равны . Покажем, что эти решения линейно независимы. Составим определитель Вронского

Полученный определитель известен в алгебре как определитель Вандермонда, он равен нулю только, когда какие-либо из корней совпадают.

Так как корни различны, то определитель Вронского не равен нулю, следовательно, решения линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений. Поэтому

.

Если среди корней имеется действительный корень кратности r, то ему соответствуют частные решения

, , , ... и группа слагаемых в общем решении

Если среди корней имеется простая пара комплексно сопряженных корней , то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений и группа слагаемых в общем решении

Если среди корней имеется пара комплексно сопряженных корней , кратности r, то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений ... и группа слагаемых в общем решении

Примеры.

,

Билет17

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

.

Будем искать его решение в виде . Подставляя в дифференциальное уравнение, получим

Так как то имеем

- характеристическое уравнение. Решая его, получим корни

.

Возможно три случая:

1) действительны и различны,

2) - комплексно сопряженные корни,

3) - действительный кратный корень.

В случае действительных, различных корней получаем решения

.

Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в виде

,

надо проверить линейную независимость . Составим определитель Вронского

, так как

.

Заметим, что для уравнения второго порядка проверять линейную независимость можно проще. Надо показать, что . Тогда столбцы определителя Вронского линейно независимы и . В нашем случае при .

В случае комплексно сопряженных корней , применяя формулу Эйлера получим комплексно сопряженные решения . Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже является решением, то являются решениями. Они линейно независимы, так как .

Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле

.

В случае кратного действительного корня одно из решений можно выбрать в форме .

Билет 18= билет 17

Билет 19=билет 17

Билет 20