Высшая математика (Интегралы и дифференциальные уравнения) / 02 семестр / К экзамену-зачёту / Билеты разных лет / билеты / answers

через остальные столбцы, поэтомуопределитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы

W x 0 .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку x0 . Так как W x0 0 , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

k, C1 ,...Ck 0,...Cn , что выполнены соотношения

C1 y1 x0 ... Ck yk x0 ... Cn yn x0 0

C1 y1 x0 ... Ck yk x0 ... Cn yn x0 0

C1 y1 n 1 x0 ... Ck yk n 1 x0 ... Cn yn n 1 x0 0 .

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

y x C1 y1 x ... Ck yk x ... Cn yn x - линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при x x0 это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение

линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если W x0 0 , то решения линейно зависимы, следовательно, W x 0 .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно W x 0 (или W x0 0 ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно W x0 0 .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если W x0 0 , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, W x0 0 x0 .

Пусть W x0 0 . Если решения линейно зависимы, то W x 0 , следовательно, W x0 0 , противоречие. Поэтому решения линейно

независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения. Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Билет 16

Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение n - го порядка с постоянными коэффициентами.

y n a1 y n 1 ... an 1 y an y 0 .

Будем искать его решение в виде y ekx . Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, получим характеристическое уравнение

k n a1k n 1 ... an 1k a .

Каждому корню характеристического уравнения будет соответствовать определенное слагаемое в общем решении однородного уравнения. Если корень кратный кратности r, то такомукорню будет соответствовать группа из r слагаемых в общем решении.

Полученный определитель известен в алгебре как определитель Вандермонда, он равен нулю только, когда какие-либо из корней совпадают.

yoo ...ekx C1 C2 x C3 x2 ... Cr xr 1 ...

Если среди корней имеется простая пара комплексно сопряженных корней k1 i , k2 i , то им соответствуют частные решения в

Билет17

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

y py qy 0 .

В случае действительных, различных корней получаем решения

y1 ek1x , y2 ek2 x .

Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную системурешений и общее решение записывается в виде yoo C1ek1x C2 ek2 x ,

надо проверить линейную независимость y1 , y2 . Составим определитель Вронского

Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле

yoo e x C1 cos x C2 sin x .

1)при любом наборе констант C1...Cn эта функция является решением,

2)для любого набора начальных условий из области существования решения x0 ,y0 ,y0 ,...y0n 1 G найдется набор констант C1...Cn , при

y x0 y0 , y x0 y0 , ...y n x0 y0n 1 .

Заметим, что общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка зависит ровно от n констант.

Частным решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение (при конкретном выборе констант).

Общим интегралом дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция Ф x, y,C1 ,...Cn , сохраняющая свои значения на решениях

дифференциального уравнения.

Интегральной кривой называется график частного решения.

Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.

Обычно рассматривается одна из трех задач:

1)Найти общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка,

2)Задача Коши – найти частное решение дифференциального уравнения n – ого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям,

3)Краевая задача – найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке x0 , а другая часть в точке x1 .

Тогда для любой внутренней точки x0 , y0 ,,y0 ,...y0n 1 G существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т.е. y x0 y0 , y x0 y0 , ...y n 1 x0 y0n 1

(через любую внутреннюю точку x0 , y0 ,,y0 ,...y0n 1 G проходит единственная интегральная кривая).

Билет 21

Теорема. Любое дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной, можно свести к системе дифференциальных уравнений первого

Получена система из m1 ...mn дифференциальных уравнений первого порядка.

Удобнее нормальную систему дифференциальных уравнений (систему в нормальной форме) записывать в виде:

y1 f1 x, y1 ,... yn

( y10 y1 )

y10 y11

y11 sin y11 cos y21

Функции g1 x , g2 x ,... gn x называются линейно независимыми, если

1 g1 x ... n gn x 0 1 0,... n 0 (допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная

нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций y1 , y2 ,... yn вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

через остальные столбцы, поэтомуопределитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы

W x 0 .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку x0 . Так как W x0 0 , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

k, C1 ,...Ck 0,...Cn , что выполнены соотношения

C1 y1 x0 ... Ck yk x0 ... Cn yn x0 0

C1 y1 x0 ... Ck yk x0 ... Cn yn x0 0

C1 y1 n 1 x0 ... Ck yk n 1 x0 ... Cn yn n 1 x0 0 .

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

y x C1 y1 x ... Ck yk x ... Cn yn x - линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при x x0 это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение

линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если W x0 0 , то решения линейно зависимы, следовательно, W x 0 .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно W x 0 (или W x0 0 ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно W x0 0 .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если W x0 0 , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, W x0 0 x0 .

Пусть W x0 0 . Если решения линейно зависимы, то W x 0 , следовательно, W x0 0 , противоречие. Поэтому решения линейно

независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения. Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.