Высшая математика (Интегралы и дифференциальные уравнения) / 02 семестр / К экзамену-зачёту / Решённые билеты экзамена / теория

Экзаменац. билет № 24

1.Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла объёма тела по площадям параллельных сечений.(!!!СМ. В ЛЕКЦИИ!!!)

Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений S(x) этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой OX.

Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем dV , над отрезком [x, x + dx] объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания S(x) и высотой dx , получим ∆V ≈ dV = S(x)dx . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

V = ∫b S(x)dx .

a

2.Определения линейной зависимости и линейной независимости системы функций. Определитель Вронского и его свойства.

Линейная зависимость и независимость.

Функции g1 (x), g2 (x),... gn (x) называются линейно независимыми, если (допустима только тривиальная линейная

комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

(представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций y1 , y2 ,... yn вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

Теорема. Если функции y1 (x), y2 (x),...yn (x) линейно зависимы, то W (x)≡ 0

61

Доказательство. Так как функции y1 (x), y2 (x),...yn (x) линейно зависимы, то какаялибо из них линейно выражается через остальные, например,

y1 (x)≡ λ2 y2 (x)+...λn yn (x). Тождество можно дифференцировать, поэтому

y1(k )(x)≡ λ2 y2 (k )(x)+...λn yn (k )(x), k =1,2,3...(n −1). Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы W (x)≡ 0 .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы. Достаточность. Зафиксируем некоторую точку x0 . Так как W (x0 )= 0 , то столбцы

определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

k, C1 ,...Ck ≠ 0,...Cn , что выполнены соотношения

C1 y1 (x0 )+... +Ck yk (x0 )+... +Cn yn (x0 )= 0

C1 y1′(x0 )+... +Ck yk ′(x0 )+... +Cn yn′(x0 )= 0

C1 y1(n−1)(x0 )+... +Ck yk (n−1)(x0 )+... +Cn yn (n−1)(x0 )= 0 .

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

y(x)≡ C1 y1 (x)+... +Ck yk (x)+... +Cn yn (x) - линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при x = x0 это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

y(x)≡ C1 y1 (x)+... +Ck yk (x)+... +Cn yn (x)≡ 0, Ck ≠ 0 ,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если W (x0 )= 0 , то решения линейно зависимы, следовательно, W (x)≡ 0 .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно

W (x)≡ 0 (или W (x0 )= 0 ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно W (x0 )≠ 0 .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

62

Пусть решения линейно независимы. Если W (x0 )= 0 , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, W (x0 )≠ 0 x0 .

Пусть W (x0 )≠ 0 . Если решения линейно зависимы, то W (x)≡ 0 , следовательно, W (x0 )= 0 , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

3.Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox одной арки

x = t −sin t

циклоиды y =1 −cos t

4.Проинтегрировать дифференциальное уравнение 2xy′y′′ =1 + (y′)2 при начальных условиях y(1)= 0, y′(1)=1.

63

Экзаменац. билет № 25

1.Фигура S ограничена лучами ϕ =α, ϕ = β (0 ≤α ≤ β ≤ 2π ) и кривой r = f (ϕ), где r и ϕ - полярные координаты точки. Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла площади фигуры S .

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим

криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в

Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой ρ = a(1 + cosϕ).

2.Интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

64

dyy = C1 x, y = C2 eC1 12 x2 - общее решение.

3) Уравнения, обе части которых являются полными производными какихлибо функций.

Пример. yy′′ = (y′)2 .

3.Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy плоской фигуры, ограниченной линиями y = ln(x +1), y = −5 и x = 0 .

4.Найти общее решение дифференциального уравнения y′′−6 y′+13y = 4 cos 3x .

65