9. Уравнения прямой в пространстве.
пусть
и
– уравнения любых двух различных
плоскостей, содержащих прямую
.
Тогда координаты любой точки прямой
удовлетворяют одновременно обоим
уравнениям, т.е. являются решениями
системы
(1)
Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом.
Недостатком задания прямой общими уравнениями является то, что по их виду ничего нельзя сказать о расположении прямой в пространстве. При решении задач удобнее использовать другие, более наглядные формы записи уравнений прямой – параметрические или канонические уравнения.
Получим параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве, решив следующую задачу.
ЗАДАЧА 1. Записать
уравнение прямой в пространстве,
проходящей через точку
,
параллельно вектору
.
Также, как и для прямой на плоскости, вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.
Пусть
– текущая точка прямой. Обозначим через
и
–
радиус-векторы точек
и
.
Рассмотрим векторы
и
.
По условию задачи они параллельны.
Следовательно,
существует такое число
(
называют параметром), что
,
, (2*)
или, в координатной форме,
(2)
Уравнение (2*) и систему уравнений (2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).
Если в задаче 1
вектор
не параллелен ни одной из координатных
плоскостей (т.е. если
,
и
),
то из уравнений системы (2) можно
выразить параметр
:
,
,
и заменить систему (2) одним равенством вида:
. (3)
где
– координаты некоторой точки на прямой;
,
,
– координаты направляющего вектора
прямой.
Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Частным случаем канонических уравнений являются уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Действительно,
пусть прямая проходит через две точки
и
.
Тогда вектор
является ее направляющим вектором, и канонические уравнения этой прямой будут иметь вид
. (4)
Уравнения (4)
называют уравнениями прямой, проходящей
через две заданные точки
и
.
Переход от общих уравнений прямой к каноническим
Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид
,
то ее параметрические уравнения:
,
,
а общие уравнения:
Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий.
Пусть прямая
задана общими уравнениями:
(5)
Чтобы записать
канонические (параметрические) уравнения
этой прямой, необходимо найти ее
направляющий вектор
и координаты какой-нибудь точки
на прямой. Координаты точки
найти легко – это одно из решений
системы уравнений (5). Выясним, как можно
найти направляющий вектор
.
Пусть
и
– плоскости, уравнения которых входят
в общие уравнения прямой,
и
– нормальные векторы к плоскостям
и
соответственно.
Так как прямая
лежит в плоскости
,
то векторы
и
перпендикулярны.
Так как прямая
лежит в плоскости
,
то векторы
и
тоже перпендикулярны.
Следовательно, в
качестве
можем взять векторное произведение
векторов
и
(см. определение векторного произведения
в §9).
ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой
(6)
1) Найдем одно из
решений системы (6). Так как
,
то этот минор можно выбрать в качестве
базисного минора матрицы системы (6).
Следовательно, переменные
и
можем выбрать в качестве базисных, а
переменную
– свободной. Так как нам не нужно все
множество решений системы (6), то придадим
переменной
конкретное значение. Например, полагаем
.
Тогда переменные
и
будут удовлетворять системе
Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:
,
,
;
,
.
Таким образом,
– одно из решений системы (6), и точка
– точка на рассматриваемой прямой.
2) Найдем направляющий
вектор
прямой. Имеем:
,
;
.
Следовательно, в
качестве направляющего вектора прямой
можем взять вектор
,
и канонические уравнения рассматриваемой
прямой будут иметь вид:
.