Аналитическое решение систем линейных дифференциальных уравнений.

Аналитическое решение дифференциальных уравнений (ДУ) возможно далеко не во всех случаях. Наиболее общие результаты в плане построения аналитического решения получены для систем линейных ДУ.

(2.1)

где

- вектор-функция искомых решений;

матрицы постоянных коэффициентов

, -

- известная вектор-функция внешних воздействий.

Из курса математики известно, что решение неоднородного ДУ (2.1) может быть получено в форме интеграла наложения (или интеграла Дюамеля):

, (2.2)

где Ф(t) – матричная (n×n) функция времени;

Х0 – вектор начальных условий.

Матричная функция Ф(t) известна в приложениях под многими названиями: переходная матрица системы, импульсная реакция системы, матрица фундаментальных решений системы однородных ДУ и т.п. Системы, представленные математической моделью (2.1), подразделяют в зависимости от поведения Ф(t) на

• устойчивые, если Ф(t) → 0 при t→∞;

• неустойчивые, если Ф(t) → ∞ при t→∞;

• физически реализуемые, если Ф(t) ≡ 0, при t <0;

• физически нереализуемые. если Ф(t) ≠ 0, при t <0.

Понятие физической реализуемости связано с невозможностью систем реагировать на воздействие до его появления, реальная система не может «предчувствовать» будущие внешние воздействия. Функцию Ф(t) можно представить как «интенсивность» памяти о величине воздействия по прошествии времени t с момента его возникновения. Чем медленнее затухает Ф(t), тем больший вес имеют прошедшие воздействия в текущем Х(t). Таким образом, чтобы исключить инверсию «памяти» в будущее, для физически реализуемых систем требуется дополнительное определение Ф(t) ≡ 0 для отрицательных t.

В выражении (2.2) первое слагаемое соответствует решению однородного ДУ, т.е. при f(t) ≡ 0:

при Ф(0) = I, (2.3)

где ,– единичная матрица,

второе – решение неоднородного ДУ

Матричная экспонента

Функция Ф(t) играет важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений. Она имеет специальное название – матричная экспонента, и обозначается как e^At. Свое название функция получила из-за ряда аналогий с обычной скалярной экспоненциальной функцией e^at.

Известно, что решением скалярного ДУ первого порядка

при начальном условии y(0) = 1 является экспонента e^at . Сопоставляя этот факт и (2.3), можно отметить формальную аналогию. Эта аналогия распространяется значительно дальше.

Для скалярной экспоненты имеет место разложение в степенной ряд

.

Если в этом ряду заменить скалярную величину а на квадратную матрицу А и единицу на единичную матрицу Е, получим степенной ряд для матричной экспоненты:

(2.4)

Соотношение (2.4) используют как одно из возможных определений матричной экспоненты.

Некоторые свойства матричной экспоненты

Отметим некоторые свойства матричной экспоненты e^At , вытекающие из ее представления рядом (2.4).

1) Матричная экспонента e^A существует только для квадратных матриц A, т.е. таких матриц, у которых число строк равно числу столбцов.

2) Матричная экспонента e^A – это квадратная матрица тех же размеров, что и A.

3)Дифференцирование матричной экспоненты по t:

, (2.5)

Соотношение (2.3) следует из (2.5) как частный случай при n =1.

4) Интегрирование матричной экспоненты по t:

(2.6)

или (2.7)

Повторное n-кратное интегрирование матричной экспоненты по времени приводит к более общей формуле:

(2.8)

5) Матричная экспонента eA перестановочна с матрицей – аргументом:

Ae^A = e^AA (2.9)

(из курса математики известно, что далеко не всякие матрицы обладают свойством перестановочности)

6) Для матричной экспоненты справедливо соотношение:

e^A∙(t1+t2) = e^A∙t1 ∙ e^A∙t2 (2.10)

7) Если матрица A диагональная, т.е.:

,

то и матричная экспонента тоже диагональная и имеет вид:

. (2.11)