Глава 1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений

Определение матрицы

Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества (например, чисел или функций), имеющая строк

и столбцов.

Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

Определение

видов матриц

1. Если m = n, то матрицу называют квадратной, порядка n.

2. Если m ¹ n, то матрицу называют прямоугольной.

3. Матрицу, все элементы которой равны нулю, называют нулевой.

4. Элементы (где k = min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:

5. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной:

Обозначают: E или E_n.

6. Пусть A = (a_ij) – квадратная матрица порядка n.

Элементы a_{1 n}, a_{2 n-1}, a_{3 n-2}, …, a_n1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы.

Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными:

Определение

видов матриц

7. Прямоугольную матрицу размера m ´ n будем называть трапециевидной, если все её элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:

Определение

равных матриц

Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. .

Определение суммы двух матриц

Суммой двух матриц и с одинаковым количеством m строк и столбцов называется матрица , элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц: . Обозначение:

Определение произведения матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица,

у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы на число :

.

Свойства линейных операции

над матрицами

Определение произведения матрицы-строки на матрицу-столбец

Произведением матрицы-строки, имеющей столбцов, на матрицу-столбец, имеющий столько же строк, называется матрица, состоящая из одного элемента, который равен сумме произведений соответствующих элементов перемножаемых матриц:,

Условие существования произведения двух матриц

Произведение матриц существует только в тех случаях, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то есть . При этом матрица-произведение имеет число строк матрицы и число столбцов матрицы .

Определение перестановочных матриц

Квадратные матрицы (размера ),

произведение которых коммутативно:

, называются перестановочными.

Определение произведения матриц

Произведением матрицы , имеющей строк и столбцов, на матрицу , имеющую строк и столбцов, называется матрица , имеющая строк и столбцов, у которой элемент равен сумме произведений элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы ,

Свойства операции умножения матриц

Определение транспониро-ванной матрицы

Пусть A – матрица размера m ´ n. Матрица размера n ´ m, полученная из A заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается A^Т.

Операция нахождения матрицы A^Т называется транспонированием матрицы A.

Свойства операции транспониро-вания матриц