Полярная система координат

Определение понятия функции одного аргумента

Если каждому элементу х из множества Х () поставлен в соответствие определенный элемент y из множества Y (), то говорят, что на множестве Х задана функция со значениями во множестве Y.

Элементы называют значениями аргумента, а элементы  значениями функции.

Множество Х называется областью определения функции, а множество всех значений функции – областью значений функции.

В случаях, когда множества Х и Y  числовые множества, соответствующие функции, называют числовыми функциями.

Основные элементарные функции

Степенная ,

Показательная ,

Логарифмическая ,

Тригонометрические ,

Обратные тригонометрические

,

постоянная .

Определение элементарных функций

Элементарными называют функции, которые получаются из основных элементарных функций в результате применения к ним конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции) функций.

Определение предела функции f(x) в точке x = a.

Число A называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к a (), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех значений х из области определения функции, удовлетворяющих неравенству , следует выполнение неравенства .

Используя логические символы, можно записать:

Определение предела функции при

Число А называется пределом функции y = f(x) при стремлении х к бесконечности, если для любого положительного сколь угодно малого числа существует сколь угодно большое положительное число M, что для всех х из области определения функции из выполнения неравенства следует выполнение неравенства . То есть

Определение непрерывной в точке х = x₀ функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке

х₀ , если предел функции в точке x = х₀ равен значению функции в этой точке:

_.

Три условия для непрерывной в точке x = х₀ функции

1. Функция f (x) определена в точке x= х₀.

2. Существует предел функции f(x) при х₀.

3. Предел функции f(x) в точке x= х₀ совпадает со значением функции f(x)

в этой точке.

Теорема о непрерывности элементарных функций

Все элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций. Для элементарных функций предел функции в точке равен значению этой функции в данной точке.

c = const ≠ 0,

b = const ≠ 0

№ n/n

Вид функции f(x)

Какие преобразования нужно сделать

Результат преобразований

1

Разделить многочлены P_n(x) и Q_m(x) на разность (х  а), сократить f(x) на эту разность (х  а) и подставить вместо х значение

х = а.

– повторить

приём

2

Функция f(x) содержит иррациональность вида

Умножить и разделить функцию f(x) на сопряженное иррациональное выражение

,

использовать формулу

сокращенного умножения

(А–В)(А+В)=А²–В² и

сократить f(x) на

разность (х – а).

------ // ------

3

Функция f(x) содержит иррациональность вида

или

Умножить и разделить разность кубических корней на неполный квадрат суммы, а сумму кубических корней – на неполный квадрат разности, воспользоваться формулами сокращенного умножения:

(А–В)(А²+АВ+В²)=А³–В³;

(А+В)(А²– АВ+В²)=А³+В³

и сократить функцию f(x) на разность (х – а).

– повторить

приём