53. Функция плотности и её свойства
Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х. Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:
P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx
свойства плотности распределения f(x).
1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.
2 Для функции распределения F(x) справедливо равенство: F(x)=-∞∫xf(t)dt.
3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α ; Β] равна: P{Α≤X<Β}=Α∫βf(t)dt.
4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:
-∞∫∞f(t)dt=1 .
54 ) Функция плотности стандартного нормального распределения
Нормальное
распределение 
с
параметрами 
и 
называется стандартным
нормальным распределением. Плотность стандартного
нормального распределения равна.
55) Функция распределения и её свойства
Функцией
распределения случайной
величины 
называется
функция 
,
при каждом 
равная
вероятности случайной величине 
принимать
значения, меньшие 
:
Любая функция распределения обладает следующими свойствами:
1) она
не убывает: если 
,
то 
2)
существуют пределы
и 
3) она в любой точке непрерывна слева:
56)Характеристическая функция
Функция 
вещественной
переменной 
называется характеристической
функцией случайной
величины 
.
59) Центральная предельная теорема
Пусть 
— независимые и одинаково
распределённые случайные
величины с
конечной и ненулевой дисперсией: 
.
Тогда имеет место слабая
сходимость
последовательности «центрированных и нормированных» сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.
Пусть 
—
независимые и одинаково распределённые
случайные величины с конечной и ненулевой
дисперсией. Тогда выполнены утверждения:
а)для
любых вещественных 
при 
имеет
место сходимость
б)если 
—
произвольная случайная величина со
стандартным нормальным распределением,
то
60) Центральные и нецентральные моменты
Если
дана случайная
величина 
определённая
на некотором вероятностном
пространстве, то:
-м нача́льным моментом
случайной величины 
где 
называется
величина
если математическое
ожидание 
в
правой части этого равенства определено;
-м центра́льным моментом
случайной величины 
называется
величина
-м абсолю́тным и 
-м центральным
абсолютным моментами
случайной величины 
называется
соответственно величины
и
-м факториальным моментом
случайной величины 
называется
величина
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых k, но и для любых положительных действительных в случае, если соответствующие интегралы сходятся.