42) Схема испытаний Бернулли и биномиальное распределение

Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью , а неудача — с вероятностью .

Формула Бернулли:  Для любого   имеет место равенство:

Набор чисел   называется биномиальным распределением вероятностей.

43) Схема испытаний Бернулли и геометрическое распределение

Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью , а неудача — с вероятностью .

Формула Бернулли:  Для любого   имеет место равенство:

Набор чисел   называется геометрическим распределением вероятностей

44) Сходимость случайных величин по вероятности

последовательность случайных величин  сходится по вероятности к случайной величине  при , и пишут: , если для любого 

45) Сходимость случайных величин по распределению

последовательность случайных величин  по распределению к случайной величине  и пишут: , если для любого  такого, что функция распределения  непрерывна в точке , имеет место сходимость

 при .

46) Сходимость случайных величин почти наверное

последовательность  сходится почти наверное к случайной величине  при , и пишут:  п.н., если . Иначе говоря, если  при  для всех , кроме, возможно, , где  — событие нулевой вероятности.

47) Теорема сложения. Распределения, для которых она справедлива

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.                                              

 Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

48)Условная вероятность

Условной вероятностью события  при условии, что произошло событие , называется число

Условная вероятность определена только в случае, когда .

Если  и , то

Для любых событий    верно равенство:

если все участвующие в нём условные вероятности определены.

49) Формула Байеса

Пусть  — полная группа событий, и  — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:

50)Формула полной вероятности

 Пусть  — полная группа событий. Тогда вероятность любого события  может быть вычислена по формуле:

51) Формула свертки

Если случайные величины  и  независимы и имеют абсолютно непрерывные распределения с плотностями  и , то плотность распределения суммы  равна «свёртке» плотностей  и 

52) Формулы элементарной и геометрической вероятностей

Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области  в  так, что вероятность попадания точки в любую часть  не зависит от формы или расположения  внутри , а зависит лишь от меры области  и, следовательно пропорциональна этой мере: где  обозначает меру области  (длину, площадь, объем и т.д.).

Если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа   равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события  вычисляется по формуле называемой классическим определением вероятности