1)Аксиомы Вероятности:

1.для любого события  выполняется неравенство   ;

2. для любого счётного набора попарно несовместных событий  имеет место равенство

3. вероятность достоверного события равна единице: .

2)Базовые операции над событиями и их вероятностный смысл

1. Объединением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .2. Пересечением  событий  и  называется событие, состоящее в том, что произошли оба события  и  одновременно. На языке теории множеств  есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств  и .

3. Противоположным (или дополнительным) к событию  называется событие , состоящее в том, что событие  в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество  состоит из элементарных исходов, не входящих в .

4. Дополнением  события  до  называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество  содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .

3) Булева сигма-алгебра

Множество , элементами которого являются подмножества множества  (не обязательно все) называется -алгеброй (-алгеброй событий), если выполнены следующие условия:

1    (-алгебра событий содержит достоверное событие);

2  если , то  (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

3  если , , то  (вместе с любым счётным набором событий -алгебра содержит их объединение).

Свойство 3 в  можно заменить , если , , то .

 Если  — -алгебра, то она удовлетворяет свойству 3, т.е. для любых  и  вып-ся .

4) Булева Алгебра

 Множество , элементами которого являются подмножества множества  (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. (Алгебра событий содержит достоверное событие);

2.если , то  (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

3.если  и , то  (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

Из свойств 1 и 2 следует, что пустое множество  также содержится в .

Из 3 следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого , для любых , ...,  выполнено .

6)Гипергеометрическое распределение

Соответствие между числом  и вероятностью

(где  таково, что ,  и ) называется гипергеометрическим распределением.

Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов есть число -элементных подмножеств множества, состоящего из  элементов:  

Число благоприятных исходов равно произведению числа способов выбрать  белых шаров из  и числа способов выбрать  ч. шаров из , т.е. . Вероятность события  равна

Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить  элементов на  местах

число способов выбрать  белых и  чёрных шаров и число способов расположить эти шары среди .

7) закон больших чисел Бернулли

Пусть событие  может произойти в любом из  независимых испытаний с одной и той же вероятностью , и пусть  — число осуществлений события  в  испытаниях. Тогда  . При этом для любого 

8) ЗБЧ Хинчина

Для любой последовательности  независимых (в совокупности) и одинаково распределённых случайных величин с конечным первым моментом  имеет место сходимость:

9) Закон больших чисел Чебышева

Для любой последовательности  независимых (в совокупности) и одинаково распределённых случайных величин с конечным первым моментом  имеет место сходимость:

10) Квантили, медиана

Пусть есть вероятностное пространство , и  — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины X. Пусть фиксировано . Тогда α-квантилью (или квантилью уровня α) распределения  называется число , такое что

Медиа́на (квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана. Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и может быть использовано для центрирования распределения. Медиана определяется для широкого класса распределений, а в случае неопределённости, в то время как математическое ожидание может быть не определено.

11) Ковариация и её свойства

Ковариацией  случайных величин  и  называется число

1. Если X,Y — независимые случайные величины, то: cov(X,Y) = 0

2. Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии: cov(X,X) = D[X].

3. Ковариация симметрична: cov(X,Y) = cov(Y,X).

4. В силу линейности мат. ожидания, ковариация может быть записана как

12) Коэффициент корреляции и его свойства

Коэффициентом корреляции  случайных величин  и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

1) если  и  независимы, то ;

2) всегда ;

3)   IFF   и  п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа  и  такие, что 

14) Критерий независимости случайных величин

События  и  называются независимыми, если 

Пусть  Тогда события  и  независимы тогда и только тогда, когда . Если  то события  и  независимы тогда и только тогда, когда

Пусть события  и  несовместны. Тогда независимыми они будут только в том случае, если   или 

Если события  и  независимы, то независимы и события  и ,  и ,  и .

15) Критерий слабой сходимости случайных величин

 Если , и функция распределения  непрерывна в точках  и , то . Наоборот, если во всех точках  и  непрерывности функции распределения  имеет место сходимость , то .

Вместо открытого интервала  можно взять ,  или 

Если , то . Если , то .

16)Мат. ожидание и дисперсия для дискретных случайных величин

Пусть задано вероятностное пространство  и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от X по пространству Ω, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или .

Если F_X(x) — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся

 Если X — дискретная случайная величина, имеющая распределение то прямо из

определения интеграла Лебега следует, что