Задача 4
На складе готовой продукции находится n изделий, среди которых k высшего качества. Наудачу выбирают m изделий. Найти вероятность того, что среди них l изделий высшего качества.
Дано:
|
|
n |
k |
m |
l |
|
14 |
10 |
4 |
5 |
2 |
Решение:
Событие A – среди выбранных 5 изделий оказалось 2 изделия высшего качества.
Число N всех возможных способов выбора 5 изделий из 10 равно числу сочетаний из n элементов по m (без повторений):
.
Число M способов выбора 5 изделий из 10, благоприятствующих наступлению события A равно:
.
Вероятность события A равна:
.
Ответ: вероятность того, что среди выбранных 5 изделий окажется 2 изделия высокого качества, равна 0.4762
Задача 5
На
складе находится
изделий, Изготовленных на заводе N
1,
изделий – на заводе N 2 ,
– на заводе N 3. Вероятность
того, что деталь, изготовленная на заводе
N 1, высшего качества, равна
.
Для деталей, изготовленных на заводах
N 2 и N 3, эти
вероятности равны
и
.
Найти вероятность того, что при проверке
наудачу взятая деталь окажется высшего
качества. Какова вероятность того, что
она была изготовлена на заводе N
2?
Дано:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
8 |
10 |
10 |
0.7 |
0.8 |
0.6 |
Решение:
Событие
A – при проверке наудачу
взятая деталь оказалась высшего качества.
Это событие может произойти вместе с
одной из гипотез
,
,
,
образующих полную группу попарно
несовместных событий:
– наудачу взятая деталь со склада
изготовлена на заводе N
1;
– наудачу взятая деталь со склада
изготовлена на заводе N
2;
– наудачу взятая деталь со склада
изготовлена на заводе N
3.
Вероятности гипотез:
.
;
;
Проверка:
,
следовательно, вероятности
гипотез определены, верно.
Вычисляем условные
вероятности
,
i = 1, 2, 3 того, что наудачу взятая деталь
оказалась высшего качества при условии,
что она изготовлена на заводе i.
;
;
.
По формуле полной вероятности:
.
Получаем:
.
Определяем
вероятность
того, что наудачу взятая деталь,
оказавшаяся высшего качества, была
изготовлена на заводе N
2. Применим формулу Байеса:
.
Получаем:
;
Ответ: вероятность того, что при проверке наудачу взятая модель окажется высшего качества равно 0.7, а вероятность того, что она была изготовлена на заводе N 2 равно 0.408.
Задача 6
Прибор состоит из n узлов. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для каждого узла одинакова и равна p. Выход из строя узлов независим друг от друга. Найти вероятность того, что за указанный срок откажут два узла, не менее двух узлов.
Дано:
|
|
n |
p |
|
14 |
8 |
0.7 |
Решение:
Условие
задачи соответствует схеме независимых
испытаний Бернулли. Испытание – работа
узла. Число испытаний равно 8. Каждое
испытание имеет два взаимоисключающих
исхода: узел работает безотказно в
течение гарантийного срока (вероятность
этого исхода равна
);
узел отказал в течение гарантийного
срока (вероятность этого исхода равна
).
Вычисления проводим по формуле Бернулли:
.
-
A – событие – среди работающих 8 узлов откажут 2
.
-
B – событие – среди работающих 8 узлов откажет не менее 2
Найдём сначала вероятность противоположного события B: B – среди работающих 8 узлов откажет менее 2:
.
Тогда
.
Ответ: вероятность того, что за указанный срок из 8 узлов откажет два узла, равна 0.2974; вероятность того, что за указанный срок из 8 узлов откажет не менее двух узлов равно 0.7447.