Метод простої ітерації

У цьому методі рівняння заміняється еквівалентним йому рівнянням

(13)

Наприклад, рівняння зводимо до виду .

Виберемо за початкове наближення кореня значення

і підставимо в праву частину рівняння (13). Одержимо перше наближення розв’язку - число x₁:

(14)

Підставляючи в праву частину рівності (14) замість значення одержимо нове наближення:

Повторюючи процес, отримаємо ітераційну формулу методу:

(15)

Якщо ця послідовність збіжна, то границя цієї послідовності – корінь рівняння і може бути обчислений з будь-якою точністю.

Достатня умова збіжності методу простої ітерації формулюється наступним чином: якщо для всіх виконується нерівність

(16)

то на проміжку рівняння має єдиний корінь і процес ітерації збігається до цього кореня незалежно від вибору початкового наближення .

Таким чином при практичному знаходженні кореня за методом ітерації при зведенні рівняння до виду (13) необхідно зобразити так, щоб похідна за абсолютним значенням була якомога менша одиниці.

Для зведення рівняння до вигляду (13) може бути застосований загальний метод, котрий забезпечує виконання нерівності (16).

Нехай , при , де m₁ – найменше значення похідної , ;

М₁ – найбільше значення похідної на відрізку [a, b],

Зауваження. Якщо похідна – від’ємна, то замість рівняння розглядаємо рівняння .

Замінимо рівняння еквівалентним йому рівнянням і виберемо сталу λ так, щоб забезпечити виконання умови (16). Тобто забезпечимо:

при

Розкриваємо нерівність:

Візьмемо праву нерівність: . З неї випливає, що тобто оскільки

З лівої нерівності випливає, що Отже, значення коефіцієнта λ знаходиться в межах .

Як правило за λ приймають значення де М₁ – максимальне значення похідної на проміжку .

Відповідно, ітераційна формула буде мати вигляд

Якщо то можна довести, що

(17)

І відповідний ітераційний процес має вигляд

(18)

Алгоритм методу простої ітерації

Метод Ейткена – Стефенсона

Прискорену збіжність при складних рівняннях має метод Ейткена – Стефенсена. Рівняння в цьому випадку зводять до вигляду . Обчислюється перше наближення для : , потім друге . За ними знаходиться уточнене значення кореня :

(19)

Воно присвоюється , після чого процес повторюється до тих пір, доки не буде досягнута бажана точність . В програмі слід передбачити контроль знаменника на нульове значення, котре може виникати при рівності та наприкінці ітераційного процесу. Якщо така ситуація виникне, слід перейти до видачі на друк.

Алгоритм до методу Ейткена – Стефенсена

1. Вибирається початкове наближення ;

2. ; ;

3. Перевіряємо умову Якщо умова справджується , то переходимо до п.7.

4. 

5. 

6. Перевірити умову . Якщо так, то повертаємось до п.2.

7. Виведення на друк .