Значення е задається в межах 10 –410 –6.

Метод хорд

Метод забезпечує швидшу збіжність, ніж метод поділу навпіл. Ідея методу в тому, що на проміжку дугу кривої заміняють хордою, яка її стягує. За наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю абсцис (точка А на Рис.2)

Рис.2

Рівняння прямої, яка проходить через точки і :

Точка А є наближеним коренем , яка була знайдена з рівняння прямої, якщо покласти , :

Далі застосовуємо метод хорд до відрізку :

Таким чином, ітераційна формула методу хорд має вигляд:

(4)

За наведеними формулами обчислюють корені також і тоді, коли ; ; ; . Тобто коли - застосовують (4).

У випадку, коли перша і друга похідні мають різні знаки, тобто , ітераційна формула має інший вигляд:

(5)

Метод хорд – це метод одностороннього наближення. Один край відрізку фіксується, а інший змінюється. Зауважимо, що формули (4) та (5) тотожні. Узагальнити їх можна так. Якщо виконується співвідношення (6):

, (6)

фіксується точка а: . В іншому випадку фіксується точка b: . При цьому ітераційна формула методу хорд має вигляд:

, (7)

де початкове значення - край відрізка , протилежний до обраного

Обчислення виконуються доти, доки різниця між черговими i не стане меншою за задану граничну абсолютну похибку Е:

Алгоритм методу хорд

Метод Ньютона

Метод послідовних наближень, розроблений Ньютоном, широко використовується при побудові ітераційних алгоритмів. Цей метод відомий своєю швидкою збіжністю (квадратичною збіжністю).

Нехай корінь рівняння відокремлений на відрізку , причому і неперервні і зберігають сталі знаки на всьому відрізку . Геометричний зміст методу Ньютона полягає в тому, що дуга кривої замінюється дотичною до цієї кривої.

Візьмемо деяку точку x₀ відрізка [а, b] і проведемо в точці [x₀, f(x₀)] дотичну до цього графіку (в прикладі обрано x₀=b).

Рис. 3

Її рівняння має вигляд:

.

Візьмемо за перше наближення кореня точку перетину дотичної з віссю ОХ (y=0; x=x₁ ), одержимо:

(8)

Наступне наближення знаходимо відповідно за формулою

Узагальнена ітераційна формула методу Ньютона має вигляд

(9)

Зазначимо, що початкове наближення доцільно вибирати так, щоб виконувалась умова

(10)

В протилежному випадку збіжність методу Ньютона не гарантується.

Найчастіше або , в залежності від того, для якої із цих точок виконується умова (10).

Метод Ньютона ефективний для розв’язування тих рівнянь, для яких значення модуля похідної біля кореня достатньо велике, тобто графік функції в околі даного кореня має велику крутизну.

Метод Ньютона, як і метод хорд є методом одностороннього наближення. Причому якщо в методі хорд наближення відбувається справа, то в методі Ньютона – зліва, і навпаки.

Алгоритм методу Ньютона

Комбінований метод хорд та дотичних

Метод хорд та дотичних дають наближення кореня з різних сторін (менше і більше від істинного значення). Тому доцільно використати обидва способи одночасно, завдяки чому уточнене значення кореня одержується швидше.

Нехай – початкове наближення кореня за методом хорд, а – за методом дотичних (див.рис.4).

Тоді провівши хорду та дотичну, одержимо відповідні наближення за методом хорд

і за методом дотичних

.

Або в загальному випадку

(11)

(12)

Рис. 4

Якщо припустима абсолютна похибка E заздалегідь задана, то процес наближення припиняється, доки не буде виявлено, що

Після закінчення процесу за значення кореня х* краще взяти середнє арифметичне одержаних останніх значень

Кращий результат дає наступний порядок обчислень:

1. Знаходиться наближене значення кореня за методом Ньютона. При цьому початкове наближення має бути обране так, щоб виконувалась умова (10). Отже якщо в точці x=b умова (10) не виконується, на етапі введення початкових даних в поданому нижче прикладі алгоритму необхідно ввести ;

2. Знаходиться наближене значення кореня за методом хорд, використовуючи замість значення , знайдене за методом Ньютона, і процес повторюється до одержання бажаної похибки обчислень.

; .

Алгоритм комбінованого методу хорд та дотичних