1.Понятие множества. Элементы множества

будем считать множество заданным, если его элементы однозначно определены и это не приводит к каким либо противоречиям.

Множества бывают конечными и бесконечными.

Конечное множество – множество, содержащее конечное число элементов

Бесконечное множество – множество, содержащее бесконечное число элементов.

Существует 2 способа задания множеств:

1. Перечисление элементов.

В таком случае элементы множества записываются в фигурных скобках через запятую. В случае бесконечных множеств можно указать интуитивно ясную последовательность и поставить многоточие.

Последний пример – бесконечное множество чисел, делящихся без остатка на 4.

2. Описание характеристического свойства элементов.

В этом случае используют следующий макет: {x | x обладает свойством Р}.

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества Множества чаще всего обозначают большими буквами латинского алфавита, его элементы — маленькими Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

2.Операции над множествами

Существует несколько основных операций над множествами.

1. Выделение подмножества.

Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент из множества А является элементом множества В. Это обозначается или . Замечание: Разумеется, любое множество является подмножеством для самого себя. Такое подмножество называется собственным подмножеством.

2. Объединение множеств.

Множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств А и В называется объединением множеств А и В и обозначается .

3.Пересечение множеств.

Множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих сразу двум множествам А и В называется пересечением множеств А и В и обозначается .

4.Разность множеств.

Множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и одновременно не принадлежащих множеству В называется

разностью между множеством А и множеством В и обозначается .

5.Симметрическая разность.

Множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих только одному из данных множеств называется симметрической разностью между множеством А и множеством В и обозначается .

6.Универсальное множество.

Универсальным множеством или универсумом называется объединение всех рассматриваемых в конкретной задаче множеств.

Пример:

7.Дополнение множества.

Пусть U – универсальное множество, а А – некоторое множество, тогда будет называться дополнением множества А и обозначаться .

3.Декартово произведение множеств

декартово произведение двух множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Отображения произведения множеств в его множители называют координатными функциями. Степенью декартового произведения называется число множеств n, входящих в это декартово произведение. Замечание. Если все множества одинаковы, то используют обозначение

.

4.Основные логические операции

В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих.

– тождественный ноль;

– конъюнкция () или .

– тождественный

– обратная импликация

– тождественный

– сумма по модулю 2 (сумма Жегалкина) ()

– дизъюнкция ()

– стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции) ()

– эквиваленция ()

– отрицание (не ) ()

– отрицание (не ) ()

– импликация ()

– штрих Шеффера (отрицание конъюнкции) ()

– тождественная единица.

5.Таблица истинности. Представление логической функции формулой. Дизъюнктивная нормальная форма.

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных и значение самой функции выражают логическую истинность.

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Алгоритм построения днф

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

6. СДНФ, СКНФ. Способы приведения к СДНФ, СКНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка

Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

• в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций

• в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

• каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

Способы приведения к СДНФ.

1. Составить таблицу истинности для данной функции;

2. Для каждой строки таблицы, в которой функция принимает значение истина (1) выписать конъюнкцию переменных, записав переменную с отрицанием, если соответствующее ей значение в данной строке равно 0, в противном случае без отрицания.

3. Соединить все элементарные конъюнкции дизъюнкцией.

Способ приведения к СКНФ.

1. Составить таблицу истинности для данной функции;

2. Для каждой строки таблицы, в которой функция принимает значение ложь (0) выписать дизъюнкцию переменных, записав переменную с отрицанием, если соответствующее ей значение в данной строке равно 1, в противном случае без отрицания.

3. Соединить все элементарные дизъюнкции конъюнкцией.

7.Законы логики

• Закон тождества

• Закон исключённого третьего

• Закон противоречия

• Закон достаточного основания

• Законы де Моргана

• Законы дедуктивных умозаключений

• Закон Клавия

• Законы деления

8.Упрощение формул логики с помощью равносильных преобразований.

Под упрощением формулы понимают равносильное преобразование , приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных

9.Булевы векторы. Понятие булевой функции.

Булева  функция— это функция, все аргументы и все значения которой принадле-жат множеству  .

10.Представление булевой функции в виде МДНФ методом Квайна.

Метод Куайна — способ представления функции в ДНФ или КНФ с минимальным количеством членов и минимальным набором переменных. Преобразование функции можно разделить на два этапа:

• на первом этапе осуществляется переход от канонической формы (СДНФ или СКНФ) к так называемой сокращённой форме;

• на втором этапе — переход от сокращённой формы к минимальной форме.

11.Операция двоичного сложения. Многочлен Жегалкина.

Жегалкина многочлен) над Z₂, то есть с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берется конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Многочленом был предложен в 1927 году И. И. Жегалкиным в качестве удобного средства для представляения функций булевой логики

13. Важнейшие замкнутые классы.

Замкнутый класс в теории булевых функций — такое множество P функций алгебры логики, любая функция, которую можно выразить формулой с использованием функций множества P, снова входит в это же множество.

14..Основные понятия логики предикатов.

n-местный предикат – это отображение , где , а , элементы которого понимаются как «ложь» и «истина». Множество называется областью определения предиката и обозначается .

0-местный предикат называется высказыванием.

Подмножество области определения, состоящее из таких наборов переменных, при которых предикат принимает значение 1, называется областью истинности предиката и обозначается нами .

15.Логические операции над предикатами

Так как предикат принимает логические значения, то можно составлять логические формулы, переменными в которых будут предикаты. Эти формулы также будут предикатами. Часто их называют сложными предикатами.

16.Кванторные операции над предикатами

Квантор (все-)общности

Квантор существования

Квантор существования по переменной x₁

Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и  ложно в противном случае, то есть

17. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений.

В математике бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств