33. Таблицы опознавателей и проверочные уравнения для различных кодов (7;4); (7;3); (8;2); (9;3).

Код (7; 4). Исправление одиночных ошибок

Пример

Принята следующая кодовая комбинация: 0001110. Определить, в каком разряде произошла ошибка, исправить ее и записать информационные символы.

Из таблицы опознавателей 5.1 имеем:

Таблица 5.1

Векторы ошибок	Опознаватель
0000001	001
0000010	010
0000100	011
0001000	100
0010000	101
0100000	110
1000000	111

Складывая единицы в первом, втором и третьем разрядах опознавателей, получаем соответственно:

а₁ Е а₃ Е а₅ Е а₇ = 0. (1)

а₂ Е а₃ Е а₆ Е а₇ = 0. (2)

а₄ Е а₅ Е а₆ Е а₇ = 0. (3)

Проще всего выразить а₁, а₂ и а₄, так как они встречаются по одному разу в уравнениях:

а₁ = а₃ Е а₅ Е а₇;

а₂ = а₃ Е а₆ Е а₇;

а₄ = а₅ Е а₆ Е а₇.

Таким образом, проверочные разряды у нас 1-й, 2-й и 4-й, следовательно, информационные разряды: 3-й, 5-й, 6-й, 7-й. Находим опознаватель ошибки из уравнений (1), (2) и (3):

а₁ Е а₃ Е а₅ Е а₇ = 1 Е 1 Е 0 Е 0 = 0;

а₂ Е а₃ Е а₆ Е а₇ = 1 Е 1 Е 0 Е 0 = 0;

а₄ Е а₅ Е а₆ Е а₇ = 1 Е 0 Е 0 Е 0 = 1.

Получаем опознаватель 100, следовательно, ошибка в 4-м разряде. Складываем полученную комбинацию 0001110 с вектором ошибки 0001000. Получаем:

Информационные символы равны: а₇ = 0, а₆ = 0, а₅ = 1, а₃ = 1.

Проверим:

а₁ Е а₃ Е а₅ Е а₇ = 0 Е 1 Е 0 Е 1 = 0;

а₂ Е а₃ Е а₆ Е а₇ = 1 Е 1 Е 0 Е 0 = 0;

а₄ Е а₅ Е а₆ Е а₇ = 1 Е 1 Е 0 Е 0 = 0.

Код (7; 3). Исправление двойных смежных ошибок

Пример

Принята следующая кодовая комбинация: 1011001. Определить, в каком разряде произошла ошибка, исправить ее и записать информационные символы.

Таблица 5.4. Опознаватели для одиночных и двойных смежных ошибок

Вектор ошибки	Опознаватель
0000001	0001
0000010	0010
0000100	0100
0001000	1000
0010000	1101
0100000	0111
1000000	1110

Чтобы получить опознаватель двойной ошибки, нужно сложить соответствующие опознаватели для одиночных ошибок (например, опознаватель для ошибки в 1-м и 2-м разрядах равен 0011).

Складывая единицы в первом, втором, третьем и четвертом разрядах опознавателей, получаем:

а₁ Е а₅ Е а₆ = 0; (1)

а₂ Е а₆ Е а₇ = 0; (2)

а₃ Е а₅ Е а₆ Е а₇ = 0; (3)

а₄ Е а₅ Е а₇ = 0. (4)

Проще всего выразить а₁, а₂, а₃ и а₄, так как они встречаются по одному разу в уравнениях:

а₁ = а₅ Е а₆;

а₂ = а₆ Е а₇;

а₃ = а₅ Е а₆ Е а₇;

а₄ = а₅ Е а₇.

Таким образом, проверочные разряды у нас 1-ый, 2-ой, 3-ий и 4-ый, следовательно, информационные разряды: 5-ый, 6-ой, 7-ой. Находим опознаватель ошибки из уравнений (1), (2), (3) и (4):

а₁ Е а₅ Е а₆ = 1 Е 1 Е 0 = 0;

а₂ Е а₆ Е а₇ = 0 Е 0 Е 1 = 1;

а₃ Е а₅ Е а₆ Е а₇ = 0 Е 1 Е 0 Е 1 = 0;

а₄ Е а₅ Е а₇ = 1 Е 1 Е 1 = 1.

Получаем опознаватель 1010, следовательно, ошибка в 5-ом и 6-ом разрядах. Складываем полученную комбинацию 1011001 с вектором ошибки 0110000 и получаем:

Информационные символы равны: а₇ = 1, а₆ = 1, а₅ = 0.

Проверим:

а₁ Е а₅ Е а₆ = 1 Е 0 Е 1 = 0;

а₂ Е а₆ Е а₇ = 0 Е 1 Е 1 = 0;

а₃ Е а₅ Е а₆ Е а₇ = 0 Е 0 Е 1 Е 1 = 0;

а₄ Е а₅ Е а₇ = 1 Е 0 Е 1 = 0.

Код (8; 2). Исправление двойных независимых ошибок

Пример

Принята следующая кодовая комбинация:

Определить, в каком разряде произошла ошибка, исправить ее и записать информационные символы.

Таблица 5.3. Опознаватели для двойных независимых ошибок

Номер разряда	Опознаватель
1	00000001
2	00000010
3	00000100
4	00001000
5	00001111
6	00010000
7	00100000
8	00110011
9	01000000
10	01010101
11	01101010
12	10000000
13	10010110
14	10110101
15	11011011

Складывая единицы в первом и последующих разрядах опознавателей, получаем:

а₁ Е а₅ Е а₈ = 0; (1)

а₂ Е а₅ Е а₈ = 0; (2)

а₃ Е а₅ = 0; (3)

а₄ Е а₅ = 0; (4)

а₆ Е а₈ = 0; (5)

а₇ Е а₈ = 0. (6)

Проще всего выразить а₁, а₂, а₃, а₄, а₆ и 7-ой разряды, так как они встречаются по одному разу в уравнениях:

а₁ = а₅ Е а₈;

а₂ = а₅ Е а₈;

а₃ = а₅;

а₄ = а₅;

а₆ = а₈;

а₇ = а₈.

Таким образом, проверочные разряды у нас 1-ый, 2-ой, 3-ий, 4-ый, 6-ой и 7-ой, следовательно, информационные разряды: 5-ый, 8-ой. Находим опознаватель ошибки из уравнений (1), (2), (3), (4), (5) и (6):

а₁ Е а₅ Е а₈ = 1 Е 0 Е 1 = 0;

а₂ Е а₅ Е а₈ = 0 Е 0 Е 1 = 1;

а₃ Е а₅ = 1 Е 0 = 1;

а₄ Е а₅ = 1 Е 0 = 1;

а₆ Е а₈ = 1 Е 1 = 0;

а₇ Е а₈ = 0 Е 1 = 1.

Получаем опознаватель 101110. Такой опознаватель не подходит для одиночной или 2-ой независимой ошибки. Таким образом, получается, что есть более двух ошибок при передаче, но исправить их этим кодом нельзя, нужен переспрос.

Код (9; 3). Исправление пачек ошибок (меньше или равно трем)

Пример

Принята следующая кодовая комбинация:

Определить, в каком разряде произошла ошибка, исправить ее и записать информационные символы.

Таблица 5.5. Опознаватели для пачки из 3-х и менее ошибок

Номер разряда	Опознаватель
1	0000001
2	0000010
3	0000100
4	0001000
5	0010000
6	0100000
7	0001001
8	0010010
9	0100100
10	1000000
11	0001011
12	0010001
13	1000001
14	0001111
15	0100011

Данный код исправляет одиночные ошибки, двойные смежные, двойные в пределах 3-х знаков (например, в 1-ом и 3-ем или 5-ом и 7-ом разрядах) и тройные смежные. Соответственно, чтобы получить опознаватель двойной или тройной ошибки, нужно сложить по модулю 2 соответствующие опознаватели для одиночных ошибок (например, опознаватель для ошибок в 1-ом, 2-ом и 3-ем разрядах равен 000111).

Складывая единицы в первом и следующих разрядах опознавателей, получаем:

а₁ Е а₇ = 0; (1)

а₂ Е а₈ = 0; (2)

а₃ Е а₉ = 0; (3)

а₄ Е а₇ = 0; (4)

а₅ Е а₈ = 0; (5)

а₆ Е а₉ = 0. (6)

Проще всего выразить а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ и а₆ разряды, так как они встречаются по одному разу в уравнениях:

а₁ = а₇;

а₂ = а₈;

а₃ = а₉;

а₄ = а₇;

а₅ = а₈;

а₆ = а₉.

Таким образом, проверочные разряды у нас 1-ый, 2-ой, 3-ий, 4-ый, 5-ый и 6-ой. Следовательно, информационные разряды: 7-ой, 8-ой, 9-ый. Находим опознаватель ошибки из уравнений (1), (2), (3), (4), (5) и (6):

а₁ Е а₇ = 0 Е 1 = 1;

а₂ Е а₈ = 1 Е 1 = 0;

а₃ Е а₉ = 0 Е 1 = 1;

а₄ Е а₇ = 1 Е 1 = 0;

а₅ Е а₈ = 0 Е 1 = 1;

а₆ Е а₉ = 1 Е 1 = 0.

Получаем опознаватель 010101. Такой опознаватель не подходит ни одной ошибке (или группе ошибок), которую может исправить данный код (см. выше). Таким образом, получается, что ошибки есть при передаче, но исправить их этим кодом нельзя, следовательно, нужен переспрос.