Пример. .
§ 16. Уравнение плоскости в пространстве
1°. Различные виды уравнения на плоскости.
Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от ??? плоскости на единицу. Размерность плоскости отличается на единицу от ??? пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно-независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.
Утверждение 1.
Пусть в плоскости
задана т.
и
два неколлинеарных вектора
и
.
Тогда т.
.
(1)
Доказательство.
|
Пусть т. М
лежит в
плоскости, тогда это означает, что
компланарны
в силу неколлинеарности
и
,
вектор
может быть представлен как линейная
комбинация
и
,
т.е. справедливо (1).
| если справедливо
(1), то
компланарен с
и
,
ч.т.д.∎
Уравнение (1) будет
называться уравнением
плоскости в векторной форме.
Оно означает лишь, что плоскость проходит
через т.
и параллельно
и
.
Зафиксируем в пространстве аффинновую
систему координат. Пусть
и
- радиус-вектора т.
и
М.
Тогда (1) перепишем:
- векторное уравнение плоскости.
(2)
Если теперь
зафиксировать координаты векторов
,
,
,
,
например
,
то уравнение (2) :
(3)
Уравнение (3)
называется параметрическим
уравнением плоскости.
Если его переписать в виде:
,
Представляет собой
линейную зависимость столбцов матрицы:
= 0 (4)
Разлагая этот определитель по первому столбцу получим:
(5)
где
(6)
Уравнение (4)
является уравнением плоскости, проходящей
через т.
и параллельно
.
Если в плоскости
заданы 3 точки
,
,
то в качестве векторов
и
:
.
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки:
(7)
Если в уравнение
(5) раскрыть скобки и обозначить
,
то
- общее
уравнение плоскости
(8)
Отметим, что в силу
неколлинеарности
хотя бы один из определителей (6) отличен
от нуля
уравнением
первой степени.
Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.
Докажем и обратное: любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.
Пусть в (8)
,
тогда (8) имеет частное решение:
,
которое определяет координаты точки,
через которую проходит плоскость. А
вектора имеют значения
.
Покажем, что
плоскости, проходящие через полученную
точку параллельно
и
определяются уравнением (8). Действительно,
уравнение плоскости имеет вид:
,
где
эквивалентно (8)
доказана теорема 1: Пусть в пространстве- в точности поверность первого порядка.
2°. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.
Утверждение 1.
Вектор
параллелен плоскости
,
заданной уравнением (8)
(9)
Доказательство.
Для доказательства утверждения необходимо
и достаточно показать, что, если
отложить от некоторой точки плоскости,
то конец также будет лежать на плоскости.
Пусть
,
,
,
проверим, что
.
Подставляя в уравнение (8):
,ч.т.д.∎
Утверждение 2.
Плоскости
(10)
(11)
параллельны
(12)
Доказательство.
| Плоскости параллельны, если вектор параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.
|
пусть
,
тогда вектора
,
которые параллельны плоскости
,
должны быть параллельны
в силу утверждения 1 выполняется:
,
ч.т.д.∎
Утверждение 3.
Плоскости
и
,
заданные уравнениями (10,11), совпадают
(13)
Доказательство.
| очевидно
| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.
Пусть т
обеим плоскостям, тогда
В силу соотношения
(12) получим:
.
Умножим первое
уравнение последней системы на
и прибавим ко второму:
мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎
Утверждение 4.
Плоскости
и
,
заданные уравнениями (10,11), параллельны
и не совпадают
(14)
Утверждение 5.
Плоскости
и
,
заданные уравнениями (10,11), пересекаются
- неколлинеарны.
Утверждение 6.
Пусть плоскости
и
,
заданные уравнениями (10,11), пересекаются
на прямой l,
тогда плоскость
проходит через эту прямую
её уравнение имеет вид:
,
(15)
где
одновременно.
Доказательство. Аналогично для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.