Доказательство.

| Очевидно, а именно, если уравнение l₃ задается (13), то она проходит через точку.

| Пусть l₃ проходит через точку и имеет уравнение .

Возьмем на прямой l₃ произвольную точку , отличную от точки . Положим . Покажем, что уравнение для l₃ пропорционально (13) с выбранными .

Т.к. точка не может одновременно принадлежать прямым и  хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени  определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через точки , а так как через две точки плоскости проходит единственная прямая, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎

Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .

3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , определяемая ортонормированным репером . Пусть прямые и задаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле

.

Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол между прямыми принимает значение на промежутке , угол между направляющими векторами – .

Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны  (15)

Отметим, что только прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой

_{В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.}

y

N

l₁

P

M

0

x

Рис.3.

Пусть прямая и пусть длина

,- угол между l₁ и . Если т.М лежит на l₁, то очевидно, что проекция

Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М.

или , (16)

где - расстояние от т. М до начала координат,

- угол между и .

Другими словами, - полярные координаты т. М. Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:

,

где - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат.

Получаем: (17) – нормальное уравнение прямой на плоскости, где

- длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую,

- угол наклона нормали к оси абсцисс.

Отметим, что и - координаты ортонормали. Покажем, что общее уравнение прямой привели к нормальному виду.

Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : при этом , знак выбирается из условия

Если С=0, то знак произвольный.

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.

y

l₁

M₀

N

M

P

x

0

Рис.4.

Произвольная точка .

,. Очевидно, что расстояние от до l:

Рис.4.

Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю.

Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то . В первом случае: , во втором - .

Последнее может быть использовано, чтобы узнать лежит ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.