.Малые поперечные колебания упругой мембраны

Под мембраной будем понимать поверхность , опирающуюся на замкнутый контур .

Введём некоторые ограничения:

_{, где v- скорость точки мембраны.}

Точки мембраны колеблются перпендикулярно плоскости, в которой она находится в положении равновесия.

– отклонение от положения равновесия точки с координатами в момент времени . Скорость перпендикулярна плоскости (х,у). Таким образом, любое сечение перпендикулярно плоскости и для него может быть построена задача, аналогичная 2.1º

б) Будем считать мембрану гибкой, т.е. силы натяжения направлены по касательной к мгновенному профилю.

_.

Введём линейную плотность силы.

_.

Колебания малы и происходят без растяжения мембраны:

_{, что дает:}

_.

Возьмём направление , в котором мембрана имеет наиболее крутой наклон и рассечём мембрану в этом направлении.

максимальный угол наклона касательной к оси х.

_.

Градиент u направлен в сторону наибольшего возрастания функции U.

Проекции равны

,

_{, тогда}

_.

Производная остаётся постоянной и не зависит от времени.

Участок мембраны при колебаниях не сдвигается в плоскости за время . Пусть

за время

за время _{. Получаем}

условие отсутствия сдвига.

_.

Если равны интегралы по произвольной области, то равны подынтегральные выражения.

и не зависит от .

Аналогично

, не зависит от . Следовательно,

_.

Введем поверхностную плотность массы. Пусть малый элемент мембраны и масса мембраны, тогда

.

Используем второй закон Ньютона

_,

.

Для малого элемента мембраны dS : , d=.

Для конечного по размерам участка ,

.

_{Получаем}

_.

_{Введем поверхностную плотность внешней силы}

_{, , , тогда второй закон Ньютона перепишется в виде}

.

Проектируем на ось

_,

_.

Теорема Остроградского – Гаусса имеет вид в двумерном случае

_{, где}

_{. Тогда}

_;

_{. В нашем случае}

.

Имеем интегральное равенство для произвольных областей, следовательно, равны подынтегральные выражения.

.

Воспользуемся теоремой о среднем:

_{, и получим}

_.

После предельного перехода

получаем

_,

В отличии от одномерных задач (2.1) и (2.2) уравнение (2.3) является двумерным.

Проверяем размерность :

2.4º Электромагнитное поле в однородных средах

Запишем уравнения Максвелла в произвольной среде.

В однородной среде: , где λ- удельная электропроводность

В вакууме

Запишем уравнения Максвелла в изотропной среде(λ,μ,ε- постоянны):

Известно векторное равенство

rot rot = grad div - ∆ .

Действуем операцией rot на первое уравнение.

Так как , то

_,

.

Действуем операцией rot на второе уравнение.

,

.

Так как , то

_{. Получаем 6 уравнений для компонент векторов напряженности.}

Введем полевую функцию

, для которой

_,

Уравнение (2.4) – уравнение гиперболического типа, в соответствии с 1.6º , причем - – поглощение электромагнитным полем энергии.

В одномерном случае уравнение принимает вид: