Спосіб підстановки (заміни змінних).

Теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл , але складно відшукати первісну, то за допомогою заміни x = (t) і dx = (t)dt виходить:

Доведення: Продиференціюємо пропоновану рівність:

По розглянутому вище властивості №2 невизначені інтеграли:

f (x)dx = f [(t)](t) dt

що з урахуванням введених позначень і є вихідним припущенням. Теорему доведено.

Приклад. Знайти невизначений інтеграл .

Зробимо заміну t = sin x, dt = cos x dt.

Приклад.

Заміна Одержуємо:

Нижче будуть розглянуті інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної добутку:

(uv) = uv + vu

де u і v – деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu

Проінтегрувавши, одержуємо: , а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або ;

Одержали формулу інтегрування частинами, що дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

Приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію й привести інтеграл до табличного.

Приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак, останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдений взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж розглянути докладно методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличного.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарними називаються дроби наступних чотирьох типів:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральні числа () і b² – 4ac <0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто приводяться до табличних підстановкою t = ax + b.

1. 

II.

Розглянемо метод інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут у загальному вигляді показане приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної вище формули на прикладах.

Приклад.

Загалом кажучи, якщо в тричлена ax² + bx + c вираз b² – 4ac >0, то дріб за визначенням не є елементарним, однак, його можна інтегрувати зазначеним вище способом.

Приклад.

Приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду можна шляхом виділення в знаменнику повного квадрата представити у вигляді . Зробимо наступне перетворення:

.

Другий інтеграл, що входить у цю рівність, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла одержуємо:

Отримана формула називається рекурентною. Якщо застосувати її n – 1 раз, то вийде табличний інтеграл .

Повернемося тепер до інтеграла від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u² + s приводиться до табличного , а до другого інтеграла застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на видиму складність інтегрування елементарного дробу виду IV, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, а універсальність і загальність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього методу на ЕОМ.

Приклад: