21. Задача ш-л для цилиндра.

Пусть D – цилиндр: , , . Найдем собственные значения и собственные функции уравнения удовлетворяющие граничным условиям:

Введем цилиндрическую систему координат. Тогда уравнение (1) принимает вид:

Выполним разделение переменных. Пусть

Подставляя (4) в (3), имеем:

Разделяя переменные в (5), получим две задачи Ш-Л:

Задача (6) представляет собой задачу Ш-Л для круга с соб знач

а задача (7) – есть задача Ш-Л для отрезка, решение которой имеет вид:

получим следующие выражения для собственных функций:

и собственных значений :

22. Задача ш-л для шара.

Найдем собственные функции и собственные значения уравнения

в , (1)

удовлетворяющие граничным условиям

Вводя сферическую систему координат, перепишем уравнение (2) в виде:

Отделим вначале радиальную переменную. Пусть

Подставляя полученное выражение в (4) и умножив обе части на , имеем:

]Последнее уравнение равносильно системе двух уравнений:

В результате имеем две задачи Ш-Л:

Рассмотрим вначале задачу (5). Разделяя переменные, имеем:

Подставляя (7) в (6), беря соответствующие производные и умножая на :

В результате получим:

Из первой задачи (9) следует

Рассмотрим вторую задачу (10).

Произведем замену :

Уравнение (12) совпадает с уравнением присоединенных функций Лежандра. Его решениями являются присоединенные полиномы Лежандра а собственные значения:

Решением задачи (6) являются, так называемые сферические функции:

Перейдем к решению задачи Ш-Л для радиальной функции.

Выполняя замену , представим задачу (5) в виде

Уравнение (14) представляет собой уравнение Бесселя. Его общее решение имеет вид:

Учитывая требования конечности искомого решения и поведения функции Неймана в нуле, имеем .⇒

Подставляя полученное выражение в (15), имеем дисперсионное уравнение:

Решение этого уравнения имеет вид

и образует спектр собственных значений задачи Ш-Л для шара. Для собственных функций задачи (5) запишем:

Учитывая (18), и (13), получим выражение собственных функций шара.

23. Задача ш-л для шарового слоя.

Рассмотрим задачу Ш-Л в шаровом слое , , . Для этого найдем собственные функции и собственные значения уравнения

удовлетворяющие граничным условиям

Разделяя переменные в (1) и (2), получим две краевые задачи

Решение второй задачи Ш-Л (4) являются сферические функции . Рассмотрим первую задачу для радиальной функции. Выполняя замену , приходим к задаче

Общее решение уравнения (5) имеет вид:

Подставляя выражение (6) в (5), получим систему уравнений относительно и :

Как и ранее, потребуем равенство нулю определителя построенной системы:

Решение дисперсионного уравнения (8) образует спектр собственных значений задачи Ш-Л для шарового слоя:

Т.к. функции Бесселя 1-го и 2-го рода не являются взаимно ортогональными, найдем связь между коэффициентами и . Из первого уравнения системы получим:

Т. к. задача Ш-Л решается с точностью до постоянного коэффициента, то

, тогда выражение для с.ф. R примет вид:

Тогда с.ф.: