15. Оценка устойчивости импульсной автоматической системы

Необходимым условием работоспособности импульсной системы явля- ется ее устойчивость. Известные из предыдущих бесед основные определения устойчивости непрерывных систем применимы и к импульсным системам, но с учетом ряда особенностей этих систем.

Обратимся к основной формулировке условия устойчивости : импульс- ная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени за- тухает.

Как уже отмечалось, на практике часто ограничиваются определением

дискретной функции Х _ВЫХ (пТ) на выходе системы. Это решение можно полу- чить, например, из формулы (17) в виде суммы свободной и вынужденной со- ставляющих:

^Х _вых ^{(nT ) }

^X _с ^{(nT )  Х} _в ^{(nT ) .}

_{Таким образом, условие устойчивости системы следует записать так:}

_lim

n  

x_c (nT )  0 .

Оценку устойчивости импульсной системы, как и непрерывной, обычно

производят на основании исследования характеристического уравнения зам-

_{кнутой системы, получаемого из формулы (16):}

^{M ( z)  c}_m ^{z m}

^{ c}_{m 1}^{z m 1  ...  c}₁^{z  c}₀ ^{. (21)}

^{Это алгебраическое уравнение имеет m корней z}_i ^{на плоскости z. Одна-}

ко, поскольку переменная z появилась в связи с подстановкой

_{z  e} ^pit _,

_{то каждый корень zi связан с корнями рi на плоскости р зависимостью}

_{pi t}

^z _I ⁼

e .

^{Легко заметить, что нулевому корню, например р}₁ ^{= 0, соответствует}

^{корень z}_i^{= 1, а корням р}_i ^{с отрицательными вещественными частями соответ-}

ствуют корни :

^z_i ^{1 .}

Теперь можно дать формулировку математического условия устойчивос-

ти: импульсная автоматическая система устойчива, если все корни ее харак-

теристического уравнения (21) лежат внутри круга единичного радиуса, по-

строенного в начале координат комплексной плоскости z (рис.15.1, точки z₁, z₂,

^z₃^{, z}₄^{, z}₅^).

Если хотя бы один из корней лежит на окружности с радиусом R = 1, то система находится на границе устойчивости (рис. 15.1, точка z₆).

При наличии корней

^z_i ^{ 1 система неустойчива (рис. 15.1, точка z}₇^).

Рис.15.1. Комплексная плоскость Z

Определение корней характеристического уравнения (21) при m  3 со- пряжено с известными трудностями. Поэтому на практике находят применение косвенные оценки — критерии качества, позволяющие оценивать устойчивость импульсных систем без определения корней.

К импульсным системам применим любой из известных критериев ус-

тойчивости непрерывных систем. Однако для этого предварительно необходи-

мо произвести билинейное преобразование полинома М (z) в полином М ()

_{по формуле}

_{1 ω}

^{z }

1 ω

. (22)

Такое преобразование позволяет отобразить единичный круг плоскости

Z (рис. 15.1) в левую часть комплексной плоскости р, аналогичную области ус-

тойчивости непрерывных систем на плоскости р.

_{К характеристическому уравнению М () = 0, которое также имеет по-}

рядок m, применимы алгебраические критерии устойчивости И. А. Вышне-

градского и Гурвица. Оценим устойчивость двух конкретных систем.

Пример 1. Импульсная система первого порядка имеет характеристиче-

_{ское уравнение}

^{M ( z)  c}₁^{z  c}₀

После подстановки (22) получим

_{ 0} .

_или

M (ω)  c₁

1 ω

1 ω

 c₀  0

^(c₁ ^{ с}₀ ^{)ω  с}₁ ^{ с}₀ ^{  0 .}

Система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характери-

стического уравнения положительны:

^(c₁ ^{ с}₀ ^{)  0,}

^с₁ ^{ с}₀ ^{  0.}

Исследуем устойчивость импульсной системы с передаточной функцией

(19) (рис.14.1).

_{Характеристические уравнения этой системы}

M ( z) 

^{z  (k} _v^T

 1),

^{M (ω)  ω(2  k} _v^{T )  k} _v^T

Отсюда получаем два условия устойчивости:

 0.

k _vT

^k _v^T

 0,

 2.

Второе условие раскрывает важное свойство изучаемого класса систем: устойчивость импульсной системы зависит не только от общего коэффициента передачи в разомкнутом состоянии k_v, как это имеет место и в непрерывных системах, но и от периода дискретности Т: чем больше Т, тем труднее обеспе-

чить устойчивость системы, при неизменном k_v.

Пример 2. Характеристическое уравнение импульсной системы второго

порядка

^{M ( z)  с}₂ ^{z 2}

^{ с}₁^{z  c}₀

 0 .

_{После перехода к переменной  получаем}

^{M (ω)  (с}₂ ^{ с}₁ ^{ c}₀ ^{)ω2  (2c}₂

^{ 2c}₀ ^{)ω  (c}₂ ^{ c}₁ ^{ c}₀ ^{)  0 .}

Система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравне-

ния положительны:

^(с₂

^{ с}₁ ^{ c}₀ ^{)  0,}

^c₂ ^{ c}₀

 0,

c₂  c₁  c₀

 0.

темы.

Эти три неравенства позволяют оценить устойчивость импульсной сис-

_{Исследование устойчивости систем третьего и более высоких порядков}

производят с помощью критерия Гурвица.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется условие устойчивости импульсной системы ?

2. Какое математическое выражение служит исходным для оценки ус-

тойчивости импульсной системы ?

3. В чем заключается практический метод определения устойчивости

импульсной системы ?