13. Дискретное преобразование Лапласа и z – преобразование

Удобным для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа, которое представ- ляет собой обобщение обычного преобразования Лапласа на дискретные функ- ции (сигналы).

_{Обычное прямое преобразование}

X ( p)  L[x(t)] 

^t _{ pt}

 ^{x(t)e dt}

₀

, (10 )

где х(t) – непрерывная функция – оригинал, X(p) – изображение.

Как известно, импульсный сигнал на выходе простейшего импульсного элемента можно представить в виде промодулированной последовательности дельта-функций:

x^(t) 

_

 ^{x(nT )δ(t  nT ) . (11)}

_{n  0}

Таким образом, каждая ордината дискретной функции представляет со-

бой -функцию, площадь которой определяется функцией Х(nT). Только в этом существует формальное различие между функциями Х^(t) и X(nT). Но без него невозможно ввести понятия, связанные с изображениями дискретных сигналов.

Изображение сигнала

_x^_(t)

в смысле дискретного преобразования Лап-

_{ласа определяется по формуле}

_{   }

X ( p)  D[x

(t)] 

 ^{x(nT )e}

_{n  0}

^pnT _{, (12)}

где

_x^_{(t) – оригинал;}

_X ^_{( p)}

– изображение.

Как видно из этой формулы, дискретное преобразование устанавливает функциональную связь между дискретными функциями (сигналами) и их изо- бражениями. Нетрудно заметить аналогию между выражениями (10) и (12). Ин- тегралу с бесконечным пределом соответствует бесконечная сумма, непрерыв- ному аргументу t – дискретный аргумент nT , а непрерывной функции х(t) – дискретная функция х(nT). По существу выражение (12) есть сумма изображе- ний всех  - функций, входящих в формулу (11). Под знак суммы необходимо ставить соответствующую дискретную функцию х(nT).

_{Очень удобным на практике оказалось Z – преобразование, которое по-}

_{лучается из дискретного преобразования Лапласа путем подстановки z=e} ^pT_:

X (z)  Z[x(nT )] 

_

 n

 ^{x(nT )z , (13)}

_{n  0}

где x(nT) – оригинал; X(z) – изображение в смысле Z- преобразования.

ций.

Рассмотрим два примера определения изображений дискретных функ-

_{1. Требуется определить изображение единичной ступенчатой дис-}

кретной функции x(nT)=1(nT).

_{В соответствии с формулой (11) имеем}

X ^( p) 

_

^{1(nT )e}

_{n  0}

 pnT

 1 e

 pt

 e^{ 2 pt}  e^{ 3 pt}  ... 

₌ ¹ _

_e ^pT

_;

_{1 e} ^{ pT} _e ^pT _1

Z-преобразование этой функции

X (z) 

^z _.

e

pT

z 1

_{2.Дана экспоненциальная функция x(nT)=e}^anT_{. Найдем ее изображение :}

_{X ( p) }

_{ e anT e pnT  1  ,}

^ _

^{n  0 1 e}

pT _{e aT}

_e pT

_{ e} aT

X (z)  Z[e^anT ] 

^z _.

_{z  e} ^aT

В справочной литературе по автоматике содержатся обширные таблицы

дискретного преобразования Лапласа и Z – преобразования. В таблице приве-

дены изображения часто встречающихся функций.

Таблица

_{Изображение часто встречающихся функций времени}

X(t)	X(p)	X(nT)	X(z)
δ(t)	1	δ(nT )	1
δ(t  kT )	e kTp	δ(nT  kT )	z k
1(t)	1 p	1(nT )	z z 1
t	1 p 2	nT	T 2 (z 1) 2
t 2 2 e αt	1 p 3 1 p  α	(nT ) 2 2 e αnT	T 2 z(z 1)  2 (z 1) 2 z z  e  αT
eαt	1 p  α	eαnT	z z  e αT
1 e αt	α p( p  α)	1 e αnT	(1 e  αt )z (z 1)(z  e  αT )

_{Итак, изображения дискретных функций являются функциями е} ^рТ_{, а не}

р, как это имеет место в обычном преобразовании Лапласа. В связи с этим воз- никла необходимость перехода к аргументу z = e ^pT, который является перио- дической функцией частоты. Поэтому дискретные изображения и частотные спектры дискретных функций также являются периодическими функциями частоты с периодом 2.

Контрольные вопросы

1. Чем отличается дискретное преобразование Лапласа от обычного пре-

образования Лапласа ?

2. Как получаются Z-изображения функций времени ?

3. Что дает разработчику или исследователю автоматических систем ис-

пользование обычного и дискретного преобразований Лапласа и Z-

преобразования ?