46.Заміна змінних у визначеному інтегралі. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Якщо: 1) — неперервна для ; 2) 3) та — неперервні для 4) при то

Зауваження. При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування, і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Теорема 11. Якщо функції та мають неперервні похідні для , то

47.Невласні інтеграли 1 і 2 роду.

Означення. Границя при називається невласним інтегралом від функції f(x) на нескінченному проміжку і позначається так: .

Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.Якщо f(x) — інтегровна для скінченних a та b, тобто формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

де

53.Подвійний інтеграл та його обчисленняОзначення. Якщо існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок M_i, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції по області D і позначається так:

Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі

Нехай у подвійному інтегралі (7.36) треба зробити перехід від змінних до змінних , тобто перейти від декартової системи координат до довільної системи координат за формулами , , які відомі.