§2. Возрастание и убывание функции.

Функция называется монотонно возрастающей в интервале х(а, b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂  х₁ следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающей на интервале х(а, b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂  х₁ следует неравенство , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

если на интервале х(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:

если , то монотонно возрастает;

если , то монотонно убывает.

Пример 1.

Определить интервалы возрастания и убывания функции

Решение.

Область определения данной функции: х(0;+).

Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: 0.

Так как где 0, то решаем систему неравенств:

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “”).

Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: 0, то есть, решая систему неравенств:

.

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “”).

Ответ: функция  при ,  при .

Пример 2.

Определить интервалы монотонности функции

Решение.

Область определения функции: х(;+).

Находим производную здесь во всех точках, кроме , где .

Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х  0.

Далее очевидно, что для любого х₁  0 будет , а для любого х₂  0 будет . Поэтому, согласно определению, функция возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.

Ответ: при х(;+) функция монотонно возрастает.

Пример 3.

Исследовать на возрастание и убывание функцию

Решение.

Здесь х;+.

Решив уравнение х⁴ – х² = 0, найдем точки х₁ = , х₂ = 0, х₃ = 1, в которых производная .

Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для отсутствуют), то в каждом из интервалов (–;–1), (–1;0), (0;1), (1;+) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы:

О твет: функция возрастает в интервалах (–;–1) и (1;+), убывает в интервале х(–1;1).

Задачи для самостоятельного решения.

Найти интервалы монотонности следующих функций:

1. ;	4.
2.	5. ;
3. ;	6.

Ответы.

1. При (–1;1) и (1;+) возрастает.

2. При – возрастает; при и (1;+) – убывает.

3. При (0;2) – возрастает; при и (2;+) – убывает.

4. При – возрастает; при – убывает.

5. При [0;+) – возрастает.

6. При – возрастает; и – убывает, где  = 0, 1, 2,