7.3 Содержание типового расчета

Четыре алгебраические кривые второго порядка заданы уравнениями вида Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0. Определить тип каждой кривой, найти ее основные параметры и сделать чертеж.

7.4 Пример выполнения типового расчета

Условие типового расчета

Уравнения кривых заданы таблицей из коэффициентов.

№ п/п	A	B	C	D	E
1	25	–36	–50	–72	3589
2	0	2	–16	6	–23
3	2	3	–12	6	21
4	2	1	–4	0	0

Приведем решения первых трех задач, указанных в задании. Задача 1. 1. По условию, уравнение имеет вид: 25x² – 36y² – 50x – 72y + 3589 = 0. 2. Так как AB = 25·(–36) < 0, то это уравнение гиперболического типа (см. 1, п. 1.2), следовательно, оно может определять или гиперболу, или пару пересекающихся прямых. 3. Выделим полные квадраты и приведем уравнение к каноническому виду: 25(x² – 2x) – 36(y² + 2y) + 3589 = 0; 25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3589 + 25 – 36; 25(x – 1)² – 36(y + 1)² = –3600; . 4. Перейдем к новой ДПСК ­ X′O′Y′ :

; ­ ­ ­

(12)

Тогда наше уравнение примет вид

(13)

Теперь хорошо видно, что данное уравнение определяет гиперболу (см. III). Однако наша гипербола расположена относительно ДПСК ­ X′O′Y′ не так, как изображено на рис. 7.2, а повернута на 90°, т.е. ее действительная ось – ось OY, а мнимая – OX. 5. Найдем основные числовые характеристики гиперболы. Действительная полуось a = 10. Мнимая полуось b = 12. Расстояние от центра до фокуса . Эксиентриситет гиперболы ε = c/d = 1.56 > 1. 6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых сначала в ДПСК ­ X′O′Y′, затем, пользуясь формулами (7.12), в данной ДПСК ­ XOY. a) Следовательно, координаты центра гиперболы O' в данной ДПСК ­ XOY будут (1,–1). b) Уравнения осей симметрии. Как мы уже отмечали, наша гипербола имеет действительную ось – ось O'Y' : x' = 0 и мнимую ось – ось O'X' : y' = 0 . С учетом (7.12) уравнение действительной оси x = 1, аналогично, уравнение мнимой оси: y = –1. с) Вершины: В системе X'O'Y' , ­ ­ где ­ ­ ; , ­ где ­ ; отсюда, в системе XOY,   A₁ (X₁,Y₁) = A₁(1; –11),   A₂(X₂, Y₂) = A₂(1; 9). d) Фокусы. В системе X'O'Y' : Отсюда в системе XOY : ­ F₁(–1; –16,6); ­ F₂(1; 14,6). e) Директрисы. ­ L₁­ : ­ y = –7,4; ­ ­ ­L₂: y = 5,4. f) Асимптоты. . x – 1,2y – 2,2 = 0. . x + 1,2y + 0,2 = 0. ­ Γ₁­ : ­ x – 1,2y – 2,2 = 0; ­ ­ ­ ­ Γ₂­ : ­ x + 1,2y + 0,2 = 0. 7 Сводка полученных результатов

Данное уравнение кривой	25x2 – 36y2 – 50x – 72y + 3589 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y' (после параллельного переноса)
Название кривой	Гипербола
Полуоси	Действительная полуось a = 10 Мнимая полуось b = 12
Расстояние от центра до фокуса
Эксцентриситет
Связь между координатами точки (X,Y ) и (X',Y' )	;

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ	Координаты в ДПСК ­ X'O'Y'	Координаты в ДПСК ­ XOY
Центр O'	(0, 0)	(1, –1)
Вершины A1 A2	(0; –10) (0; 10)	(1; –11) (1; 9)
Фокусы F1 F2	(0; –15,6) (0; 15,6)	(1; –16,6) (1; 14,6)
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ	Уравнение в ДПСК ­ X'O'Y'	Уравнение в ДПСК ­ XOY
Оси Действительная Мнимая	x' = 0 y' = 0	x = +1 y = –1
Директрисы L1 L2	y' = –6,4 y' = 6,4	y = –7,4 y' = 5,4
Асимптоты Γ1 Γ2	x' = 1,2y' x' = –1,2y'	x – 1,2y – 2,2 = 0 x + 1,2y + 0,2 = 0

8. На рисунке 7.4 изображена гипербола.

Рис. 7.4 Гипербола

Задача 2. 1. По условию уравнение имеет вид y² – 16x + 6y – 23 = 0. 2. Так как AB = 0 ·1 = 0, то это уравнение параболического типа (см. 1, п.2); далее, так как C ≠ 0 (см. 1, п. 2.1), то это уравнение определяет параболу. 3. Выделим полный квадрат: (y² + 6y + 9) = 16x + 23 + 9; ­ (y + 3)² = 16(x + 2). 4. Перейдем к новой ДПСК ­ X'O'Y'

­ ­

(14)

тогда наше уравнение примет вид: (y')² = 16x'. 5. Найдем параметр: 2p = 16, ­ p = 8. 6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых: а) Вершина ­ ­ (См. (14)). ­ ­ O'(–2; –3). b) Уравнение оси: ­ y' = 0, ­ y + 3 = 0, ­ т.е. ­ y = –3. c) Координаты фокуса F(p/2,0): F(2, –3). d) Уравнение директрисы: ­ z : ­ X' = –p/2; ­ ­ X' = –4; ­ ­ X + 2 = –4 ­ ­ или ­ ­ X = –6.

Сводка полученных результатов

Данное уравнение	y2 – 16x + 6y – 23 = 0
Уравнение кривой относительно ДПСК ­ X'O'Y' (после параллельного переноса).	(y')2 = 16x'
Название кривой	Парабола
Параметр	p = 8
Эксцентриситет	ε = 1
Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ	Координаты в ДПСК ­ X'O'Y'	Координаты в ДПСК ­ XOY
Вершина O'	(0, 0)	(–2, –3)
Фокус F	(4, 0)	(2, –3)
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ	Уравнение в ДПСК ­ X'O'Y'	Уравнение в ДПСК ­ XOY
Ось	y' = 0	y = 3
Директриса	x' = –4	x' = –6

8. На рисунке 7.5 изображена парабола.

Рис. 7.5 Парабола

Задача 3. 1. По условию уравнение имеет вид: 2x² + 3y² – 12x + 6y + 21 = 0. 2. Так как A · B = 2 · 3 > 0, то уравнение эллиптического типа (см. 1, п. 1.1), следовательно, оно может определять либо эллипс, либо пустое множество (мнимый эллипс), либо точку. 3. Выделим полные квадраты: 2(x² – 6x + 9) + 3(y² + 2y + 1) – 18 – 3 +21 = 0; 2(x – 3)² + 3(y + 1)² = 0. Точка с координатами (3, –1) Замечание. Мы ограничились разбором решения только трех задач, однако это дает представление о выполнении работы в целом.