3. Объем тела вращения

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу (Рис. 10), определяется формулой:

. (11)

Рис. 10

Пример 15. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 11, 12).

Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем

.

Рис. 11

Рис. 11

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции .

Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции и прямыми , , , то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , равен:

. (12)

Рис. 12

Пример 16. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , (Рис. 13).

Решение: В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:

.

Рис. 13

4. Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (Рис. 14).

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

1. Для кривой, заданной уравнением ,

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (13)

Пример 17. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение: Из условия задачи имеем . По формуле (13) получаем:

.

2. Для кривой, заданной параметрически уравнениями .

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме , где и - непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина l кривой АВ находится по формуле:

. (14)

Пример 18. Вычислить длину дуги кривой:

,

В данном случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (14).

;