Определенный интеграл и его приложения

1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.

1. С помощью точек () разобьем отрезок на частичных отрезков .

2. В каждом частичном отрезке , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке, т. е. ;

3. Умножим найденное значение на длину соответствующего частичного отрезка: ;

4. Составим сумму всех таких произведений:

, (1)

Сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: .

5. Найдем предел интегральной суммы, когда , так что.

Рис. 1

Если при этом интегральная сумма имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек на них, то число I называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом,

. (2)

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок называется областью (отрезком) интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , вертикальными прямыми и сбоку и осью снизу, называется криволинейной трапецией. Рассмотрим разбиение отрезка и соответствующую интегральную сумму (1). Слагаемые в (1) равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами (), а вся сумма представляет площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками (Рис. 2). Предел интегральных сумм (если он существует), то есть определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Рис. 2

Таким образом , т. е. .

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

3. Свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю : . Это свойство следует из определения интеграла.

3. Если , то, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух (и более) функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6. Если функция интегрируема на и , то (аддитивность определенного интеграла).

7. Если , то .

8. Если интегрируемые функции и удовлетворяют неравенству , то (определенность определенного интеграла).

9. Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции непрерывной на отрезке , то .

10. (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .