9.4.Теоремы подобия

1. По Ньютону: Подобные явления имеют численно одинаковые критерии подобия.

По Кирпичеву М.В.: У подобных явлений индикаторы подобия равны "1".

2. Количественные результаты опытов нужно представлять в виде уравнений выражающих зависимость между критерием подобия процесса, т.е. что любая зависимость между переменными характеризующей какое-либо явление может быть представлена в форме зависимости между критериями подобия составленными из этих элементов:

f(k₁,k₂,...,k_n)=0 - подобные зависимости называются критериальными уравнениями, в эти уравнения помимо критерия подобия могут входит симплексы, или так называемые параметрические критерии , представляющие собой отношение двух однородных величин.

В отличии от критериев подобия, составляемых из не однородных величин и называемых критериями-комплексами, критерии-симплексы получаются не как результаты обработки основных уравнений, а вытекают соответственно из подстановки задачи. Например если:

параметрический критерий или симплекс.

3. М.В. Кирпичева, А.А. Глухмана трактует о тех условиях, которые необходимы и достаточны для подобия двух явлений.

В соответствии с ней два явления подобны если они имеют подобные условия однозначности, и численно одинаковы определяющие критерии подобия.

Определяющими критериями подобия называют критерии которые составлены из параметров входящих в условия однозначности.

Условия однозначности: Понятие подобия применимо к таким физическим явлениям, которые качественно одинаковы как по форме, так и по содержанию, т.е. имеют одну физическую природу, развиваются под действием одинаковых сил и описываются одинаковыми по форме ДУ и краевыми условиями (условиями однозначности). В противном случае явления будут называться аналогичными, пример: теплопроводность и диффузия (аналогичны т.к. у них совершенно разная физическая природа).

Условия однозначности дают математическое описание всех частных особенностей рассматриваемой задачи и включают:

1. геометрические условия - определяющие размеры и форму тела или системы тел, где протекает процесс.

2. фактические свойства среды существенные для рассматриваемого процесса.

3. граничные условия которые описывают особенности процесса протекающего на границах системы с окружающей средой.

4. временные условия, показывающие особенности протекания рассматриваемого процесса во времени, для стационарных процессов временные условия отпадают.

Условия однозначности заданные в виде конкретных числовых значений в соединении с диф уравнением выделяют из всего класса процессов один конкретный процесс.

В этом случае решением диф. уравнения, если его удается получить справедливо только для заданных численных условий однозначности.

Естественно, что равенство определяющих критериев подобия влечет за собой равенство всех остальных критериев в состав которых входят величины не предусмотренные условиями однозначности, так называемых не определяющих критериев. Т.о. каждый из не определенных критериев будет представлять собой однозначную функцию совокупности определяющих критериев. Т.е. если k₁, k₂, k_n - определяющие критерии, а k - не определяющий, то: k=f(k₁,k₂,...,k_n).

Это положение имеет большое значение для данных опыта, и представляет собой центральное звено всей теории подобия.

Теория подобия позволяет полно ответить на вопрос о том, как надо ставить эксперимент, что нужно изменять во время опыта, как нужно обрабатывать полученные результаты, и какие явления будут подобны изученным.

Во время опыта нужно измерять все те величины, которые входят в критерий подобия (это вытекает из первой теории подобия). Результат подобия следует обрабатывать в форме критериальных уравнений, при этом определяющие критерии являются аргументами, а не определяющие - функциями (эта составляющая второй теоремы подобия). На вопрос о том какие объекты будут подобны исследуемому отвечает теорема Кирпичева-Гухмана.

Для удобства критериальные уравнения представляют в форме степенной зависимости:

Это обусловлено тем, что в логарифмических координатах степенная зависимость изображается прямой линией, при этом показатель т определяется как тангенс угла наклона прямой, а коэффициент с - как отрезок оси абсцисс.