Уравнение плоскости проходящей через точку параллельно 2м коллинеарным векторам
Составим уравнение
плоскости, проходящей через
,
параллельно неколлинеарным векторам
и
.
– текущая точка
плоскости.
и
– радиус-векторы точек
и
.
Рассмотрим
,
и
.
По условию они компланарны. Следовательно
,
в
координатной форме,
.
Полученные уравнения называют уравнениями плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам
Уравнение плоскости проходящей через 3 заданные точки
пусть плоскость
проходит через
,
и
,
не лежащие на одной прямой. Тогда векторы
и
неколлинеарные и параллельны плоскости. Следовательно, уравнение этой плоскости будет иметь вид
,
в координатной форме:
.
Данные уравнения
называют уравнениями плоскости,
проходящей через три точки
,
и
.
Прямая линия в пространстве
Пусть
и
– уравнения непараллельных плоскостей.
Тогда эти плоскости пересекаются по
некоторой прямой
.
Координаты любой точки прямой
удовлетворяют одновременно обоим
уравнениям, т.е. являются решениями
системы
Данную систему называют общими уравнениями прямой в пространстве
Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору
Даны
,
и
.
Вектор l
называют направляющим
вектором
этой прямой.
– текущая точка прямой.
и
– радиус-векторы точек
и
.
.
Следовательно, существует такое число
(
называют параметром),
что
,⇒
,
или,
(48)
полученную систему называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если вектор
не параллелен ни одной из координатных
плоскостей то из уравнений системы
можно выразить параметр
:
,
,
и заменить систему одним уравнением
вида:
,
Канонические и параметрические уравнение прямой через 2 точки
Даны
и
.
Тогда вектор
является
ее направляющим вектором и канонические
уравнения этой прямой будут иметь вид
.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Пусть
в пространстве заданы плоскость
и прямая
.
Они могут быть
1) параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
Пусть
:
и
:
.
Тогда
– нормальный вектор плоскости,
– направляющий вектор прямой. 
Если плоскость и
прямая параллельны или прямая
целиком лежит в плоскости
,
то векторы
и
– перпендикулярны. Следовательно
,
или
.
Если данные условия не выполняются, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
Если
l . В этом случае
и
будут параллельны, т.е.
.
Пусть прямая
лежит в плоскости
.
Тогда любая точка прямой лежит в
плоскости и, следовательно, ее координаты
удовлетворяют уравнению плоскости. В
частности,
,
где
– некоторая точка прямой
.
Если же прямая параллельна плоскости,
то она не имеет общих точек с плоскостью
и, =>
.
Таким образом,
если прямая лежит в плоскости, то должны
выполняться два условия:
и
;
если
прямая параллельна плоскости, то
и
,
где
– точка прямой
.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .
– угол между прямой
и плоскостью
.
Через точку пересечения прямой
плоскости
проведем прямую
,
.
Пусть
– острый угол между прямыми
и
.
Тогда
.
Но 
,
–
формула для определения угла между
прямой и плоскостью.