1.7. Дополнительные замечания к вопросу об интерполяции
1. Приближение
функций при помощи интерполяционных
полиномов осуществляется на конечном
интервале значений аргументов
и эти полиномы совпадают с данной
функцией в точках
,
.
Естественно предположить, что путем
увеличения числа совпадающих точек
полином можно приблизить как угодно
близко. Именно так обстоит дело, когда
интервал не слишком велик. В общем же
случае в этом вопросе необходимо
соблюдать большую осторожность.
При неограниченном
увеличении числа точек
интерполяционный полином превращается
в интерполяционный ряд. Из курса анализа
известно, что степенной ряд сходится
внутри и расходится вне некоторого
определенного интервала. Точно так и
интерполяционный ряд сходится к заданной
функции внутри некоторого интервала и
может перестать сходиться к ней вне
его. Например, если мы желаем в интервале
представить при помощи интерполяционного
ряда функцию
,
то обнаружим, что при x
= 4 ряд уже не изображает функцию. Можно
показать, что в интервале
данный ряд сходится и изображает функцию
с любой степенью точности, а вне этого
интервала не может служить для изображения
функции.
2. При интерполировании бывает полезно учитывать природу задачи и ее решений. Например, некоторые данные удобно представлять не единой кривой, а набором кусочно-гладких кривых. Так происходит, когда исследуемое научное или техническое явление переходит из одной физической области в другую.
3. Сделаем еще одно
замечание относительно точности замены
данной нам функции полиномом. Когда
аналитическое выражение функции
совершенно неизвестно и все наши сведения
относительно нее ограничиваются только
рядом ее табличных значений, задача
интерполирования становится (как уже
отмечалось) в сущности неопределенной,
так как теоретически возможно построить
сколько угодно много функций, принимающих
значения
,
,
,
…,
при значениях аргументов
,
,
,
…,
.
Несмотря на это, если мы имеем некоторое
представление о природе данной функции
и у нас нет никаких оснований предположить,
что в пределах рассматриваемого ряда
значений поведение ее беспорядочно, то
мы вполне вправе принять, что ее график
есть плавная
кривая, а в
этом случае функцию можно с уверенностью
заменять полиномом.
4. Исследование общего вопроса о сходимости интерполяционных рядов сложно и требует применения функций комплексной переменной. Поэтому мы ограничимся вопросами, относящимися к остаточным членам интерполяционных формул.
Выше мы отмечали, что если для некоторых разностей порядка k выполняются условия (1.17), то составление таблицы разностей можно прекратить. В этом случае в интерполяционных формулах Ньютона, Бесселя и Стирлинга можно ограничиться разностями k-го порядка и нет смысла вычислять остаточный член. Потому что если сходная точка выбрана так, что величина q в интерполяционных формулах меньше 1 и если разности какого-либо порядка практически постоянны (т.е. выполняются условия (1.17)), то результат интерполирования имеет столько же верных знаков, как и табличные значения функции. Это утверждение основывается, однако, на предположении, что все имеющие значение разности участвуют в интерполяционной формуле, или что, по крайней мере, сохраняются все разности, влияющие на последний знак.
Остаточный член следует вычислять только в тех случаях, когда разности не становятся постоянными или когда практически неудобно пользоваться разностями выше некоторого порядка.
Приводим формулы для вычисления остаточных членов некоторых интерполяционных рядов.
Первая интерполяционная формула Ньютона:
.
Вторая интерполяционная формула Ньютона:
.
Формула Бесселя:
.
Формула Стирлинга:
.
Нужно обратить внимание на то, что остаточный член формулы Бесселя содержит четные разности, тогда как в формуле Стирлинга он содержит нечетные разности. Поэтому, если при употреблении формул центральных разностей мы останавливаемся на четной разности и желаем определить погрешность, то нужно взять формулу Стирлинга, в случае же когда мы останавливаемся на нечетной разности, следует брать формулу Бесселя. Если следовать этому правилу, то остаточный член будет всегда членом, следующим непосредственно за тем, на котором мы остановились.
5. Кроме представления конечных разностей в виде диагональной и горизонтальной таблиц, существует более общая форма оформления конечных разностей в виде схемы, называемой ромбовидной диаграммой [8]. На основе этой схемы в виде траекторий можно записать не только любую стандартную формулу (Ньютона, Бесселя и др.), но и много обоснованных интерполяционных формул. Другими словами, основываясь на правила, на которых строятся траектории, проходящие через ромбовидную диаграмму, можно вывести интерполяционную формулу, отвечающую специфике решаемой задачи.
6. Необходимо обратить внимание на следующее. При изложении вопросов, относящихся к интерполяции, для наглядности применялось графическое представление таблиц разностей, но в современной практике вычислений они используются в основном в электронном виде (см. замечание 6 в предисловии).