1.5. Интерполяционные формулы Бесселя и Стирлинга (формулы центральных разностей)
Интерполяционные формулы Ньютона являются основными и применимы почти во всех случаях интерполирования, но, вообще говоря, они сходятся не так быстро, как другие формулы, называемые формулами центральных разностей, то есть в эти формулы входят разности, наиболее близкие к горизонтальной строке (в табл. 8 эти разности подчеркнуты пунктирными и тонкими линями). Поэтому формулы центральных разностей особенно удобны для интерполирования значений функции около середины табличного ряда.
Наиболее важные формулы центральных разностей – это формула Бесселя и формула Стирлинга. Используя величины из вышеупомянутой табл. 8, покажем, как запишутся соответствующие формулы.
Например, необходимо
вычислить значение
,
где
.
Выражение для вычисления по формуле Бесселя будет следующее (из таблицы берем величины, подчеркнутые пунктирными линями):
+
+
,
(1.19)
где
.
Выражение для вычисления по формуле Стирлинга следующее (из той же табл. 8 берем величины, подчеркнутые тонкими линями):
,
(1.20)
где
.
Если вычисления выполняются с разностями более высоких степеней, к выражениям (1.19) и (1.20) необходимо будет присоединить дополнительные члены. Также очевидно, если аргумент окажется в другом интервале, в формулах соответствующим образом нужно изменить нижние индексы табличных значений [2].
Пример
4.
Используя данные табл. 7, вычислить
значение функции для
с применением формул Бесселя и Стирлинга.
Решение. Так как i = 3, воспользуемся непосредственно формулами (1.19) и (1.20). Как и в случае применения формулы Ньютона (пример 1) вычисления будем проводить с разностями не выше третьего порядка.
Сначала вычисляем
.
По формуле Бесселя получим следующий результат:
=
=
0,36162.
Результат вычисления по формуле Стирлинга такой:
0,36162.
Как видим, результаты с точностью округлений совпадают.
1.6. Интерполирование функций с неравноотстоящими узлами
Рассмотренные выше интерполяционные формулы справедливы для функций с равноотстоящими узлами. Но иногда невозможно получить значения функции для равноотстоящих значений независимой переменной, то есть функция задана таблично, причем разности ее аргументов не равны нулю и не равны между собой. Для произвольно заданных узлов интерполирования можно воспользоваться интерполяционной формулой Лагранжа и многочленом Ньютона.
Для получения
интерполяционной
формулы Лагранжа
найдем такой многочлен
,
который в точке
принимал бы следующие значения:
Например многочлен вида
(1.21)
удовлетворяет этим
условиям. Действительно, числитель
представляет многочлен n-й
степени, имеющий корни
,
,
,
,
поэтому при равенстве x
соответствующим значениям
(k
= 0, 1,
,
n;
)
он равен нулю. В то же время
при
,
поскольку в этом случае числитель и
знаменатель (1.21) равны.
Используя многочлен
,
получим искомую интерполяционную
формулу Лагранжа в следующем виде:
или в развернутом виде
.
(1.22)
Легко проверить,
что многочлен (1.22) в точках
принимает значения
, значит, он является интерполирующим.
Можно показать, что найденный многочлен
является единственным.
Замечания к применению формулы Лагранжа.
Замечание
1. При применении
формулы Лагранжа выполняется глобальная
интерполяция, то есть строится
интерполяционный множитель, единый для
всего отрезка
.
Ввиду того, что формула Лагранжа не
содержит последовательных разностей
рассматриваемой функции, оценить
точность результата по ней невозможно.
Как известно, при составлении
интерполяционной формулы Ньютона (также
как Бесселя и Стирлинга) мы останавливаемся
на тех разностях, которыми мы можем
пренебречь (условие (1.17), что дает нам
приблизительное представление о
достигаемой при интерполировании
точности; в случае же формулы Лагранжа
такого критерия не имеется.
Замечание 2. При пользовании формулой Лагранжа нужно учитывать следующее обстоятельство: если значения независимой переменной взяты далеко друг от друга, то результат может быть весьма неточным.
Замечание 3. Так как формула Лагранжа представляет собой соотношение между двумя переменными, каждую из которых можно рассматривать как независимую, то очевидно, что приняв за независимую переменную y, можно написать формулу, выражающую x в функции y. (Формулу не приводим, так как выражение для такой связи легко получить из соотношения (1.22) взаимной заменой x и y). На основании этого можно сказать, что еще одной задачей, которую можно решать при помощи формул Лагранжа, является определение значения независимой переменной, соответствующего данному значению функции.
Замечание 4. Формулу Лагранжа (1.22) можно применять и для случая равноотстоящих узлов.